Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений
Метод Гаусса — это универсальный алгоритм решения систем линейных уравнений, основанный на последовательном исключении неизвестных. Рассматривается случай совместной и определённой системы (имеющей единственное решение).
Основные понятия и правила
Каждой системе линейных уравнений ставится в соответствие расширенная матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных и свободных членов. Метод заключается в преобразовании этой матрицы к треугольному (или трапециевидному) виду, когда ниже главной диагонали расположены только нули.
Допустимые элементарные преобразования строк матрицы:
- Перемена местами двух строк.
- Умножение или деление строки на число.
- Добавление к одной строке другой, умноженной на число.
Алгоритм метода
Процесс решения состоит из двух этапов:
- Прямой ход: Последовательное преобразование расширенной матрицы к треугольному виду с помощью элементарных операций. В качестве рабочей строки для обнуления элементов ниже главной диагонали выбирается строка, где на диагонали желательно иметь единицу.
- Обратный ход: После получения треугольной матрицы выписывается соответствующая ей система уравнений. Решение находится последовательно, начиная с последнего уравнения:
- Из последнего уравнения находится последняя неизвестная.
- Найденное значение подставляется в предпоследнее уравнение для нахождения предыдущей неизвестной.
- Процесс повторяется «снизу вверх» до нахождения всех переменных.
Пример решения системы 3x3
Дана система трёх уравнений с неизвестными X1, X2, X3.
Прямой ход:
- Выписывается расширенная матрица системы.
- Используя первую строку (с единицей на главной диагонали), обнуляются элементы первого столбца во второй и третьей строках.
- Для обнуления элемента во втором столбце третьей строки используется вторая строка. Для удобства предварительно выполняются преобразования: умножение строк на (-1) для избавления от минусов и перестановка строк для получения единицы на главной диагонали.
- После преобразований получается матрица треугольного вида.
Обратный ход:
- По полученной матрице записывается система уравнений треугольного вида.
- Из третьего уравнения сразу находится X3 = 3.
- Подстановкой X3 во второе уравнение находится X2 = -2.
- Подстановкой X2 и X3 в первое уравнение находится X1 = -4.
Для проверки найденные значения подставляются в исходную систему, что подтверждает верность решения.