Конспект

Функции, которые мы рассматриваем

Мы будем изучать однозначные функции одного действительного аргумента. Область определения функции — это множество X, являющееся подмножеством действительных чисел (R). Нас будут интересовать функции, заданные на числовых промежутках (конечных или бесконечных). Каждому значению аргумента x из X ставится в соответствие одно конкретное действительное число — значение функции.

График функции — это множество точек на плоскости с координатами (x, f(x)).

Предел функции в точке

Пусть f(x) — функция, определённая на множестве X. Точка a называется предельной точкой множества X, если в любой её окрестности есть точки из X, отличные от a. В такой точке можно определять предел функции.

Предел функции f(x) при x, стремящемся к a (обозначается lim(x→a) f(x) = A), существует, если для любой последовательности {x_n} из X, сходящейся к a, соответствующая последовательность значений функции {f(x_n)} сходится к A.

Для определения предела в точке a не требуется, чтобы функция была определена в самой этой точке. Важно лишь, чтобы a была предельной точкой области определения.

Односторонние пределы

Если функция определена только справа или слева от точки a (например, на концах промежутка), можно рассматривать односторонние пределы:

• Правый предел (x → a+0): x стремится к a, оставаясь больше a.
• Левый предел (x → a-0): x стремится к a, оставаясь меньше a.

Формулировки аналогичны общему определению, но с дополнительным условием на x (x > a для правого предела, x < a для левого).

Критерий существования предела: Для существования (конечного) предела функции в точке необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали и совпадали оба односторонних предела. Если они различны, общего предела не существует.

Свойства конечных пределов в конечной точке

Если функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы в точке a, то справедливы следующие свойства (аналогичные свойствам пределов последовательностей):

1. Единственность предела. Предел функции, если он существует, единственен.
2. Ограниченность. Если функция имеет конечный предел в точке, то она ограничена в некоторой проколотой окрестности этой точки.
3. Предел суммы/разности. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) их пределов.
4. Предел произведения. Предел произведения функций равен произведению их пределов.
5. Предел частного. Предел частного функций равен частному их пределов, при условии, что предел знаменателя не равен нулю.

Эти свойства корректны, если выражения в правых частях имеют смысл.

Бесконечные пределы и пределы на бесконечности

Понятие предела обобщается на случаи, когда аргумент или значение функции стремятся к бесконечности. Возможны различные комбинации:

• x → a (конечно), f(x) → ∞ (бесконечный предел).
• x → ∞, f(x) → A (конечный предел на бесконечности).
• x → ∞, f(x) → ∞.

Определения строятся по той же логике: для любой выбранной окрестности предельного значения (или "окрестности бесконечности") существует такая окрестность аргумента, что значения функции попадают в заданную окрестность.

Свойства единственности и ограниченности (в случае конечного предела) остаются в силе. Арифметические свойства пределов (суммы, произведения, частного) также могут быть распространены, но требуют осторожности при работе с бесконечностями.

Неопределённости

При вычислении пределов с использованием арифметических свойств могут возникать неопределённости, когда результат не очевиден и требует дополнительного исследования. Основные типы:

• ∞ - ∞
• 0 * ∞
• ∞ / ∞
• 0 / 0

Наличие неопределённости означает, что предел может существовать, но для его нахождения нельзя механически применять свойства, нужно преобразовывать выражение.

Замечательные пределы

Первый замечательный предел:
lim(x→0) sin(x) / x = 1

Второй замечательный предел (одна из форм):
lim(n→∞) (1 + 1/n)^n = e

Эти пределы являются фундаментальными и используются для раскрытия неопределённостей и вывода других важных формул.