Конспект

Непрерывные функции на отрезке

Ключевое свойство непрерывной функции на отрезке — её ограниченность. Это означает, что существуют такие числа m и M, что для всех x из отрезка выполняется m ≤ f(x) ≤ M. Более того, такая функция достигает на отрезке своих наибольшего и наименьшего значений.

Функция, непрерывная на отрезке, ограничена и достигает на нём своих максимального и минимального значений.

Это утверждение является достаточным, но не необходимым условием. Функция может быть ограниченной и на других типах множеств (например, на интервале), но гарантия достигается именно на замкнутом ограниченном множестве (отрезке).

Нарушение условий

Если нарушить условия непрерывности или замкнутости области определения, функция может потерять свойства ограниченности и достижимости экстремумов.

• Незамкнутость области: Функция f(x) = 1/x непрерывна на интервале (0, 1], но не ограничена сверху (стремится к +∞ при x → 0+), поэтому не достигает наибольшего значения.
• Разрыв функции: Функция может быть определена на отрезке, но иметь разрыв, что также может привести к неограниченности.

Теорема о промежуточном значении

Если функция непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на его концах значения f(a) = A и f(b) = B, то для любого числа C, лежащего между A и B, найдётся точка c ∈ [a, b], такая что f(c) = C.

Геометрически это означает, что непрерывная функция, переводящая отрезок в отрезок, принимает все промежуточные значения.

Равномерная непрерывность

Более сильное свойство, чем обычная непрерывность в каждой точке — равномерная непрерывность на множестве.

• Обычная непрерывность: Для каждой точки x₀ и любого ε > 0 существует своё δ > 0 (зависящее и от x₀, и от ε), такое что при |x - x₀| < δ выполняется |f(x) - f(x₀)| < ε.
• Равномерная непрерывность: Для любого ε > 0 существует δ > 0 (зависящее только от ε), общее для всех точек множества, такое что для любых x₁, x₂ из этого множества при |x₁ - x₂| < δ выполняется |f(x) - f(x₂)| < ε.

Непрерывная на отрезке функция всегда является равномерно непрерывной на нём. Это фундаментальное свойство (теорема Кантора), часто используемое в анализе.

Пример нарушения: Функция f(x) = 1/x непрерывна на (0, 1), но не равномерно непрерывна, так как для фиксированного ε требуемое δ неограниченно уменьшается при приближении x к нулю.

Обратная функция

Для существования однозначной обратной функции недостаточно просто непрерывности и сюръективности (перевода отрезка в отрезок).

• Ключевое условие: Исходная функция должна быть строго монотонной (строго возрастающей или строго убывающей) на отрезке.
• Следствие: Если непрерывная функция строго монотонна на отрезке, то обратная к ней функция также непрерывна и строго монотонна на соответствующем отрезке значений.

Если монотонность не является строгой, то обратное отображение может стать многозначным (одному значению y будет соответствовать несколько x), и говорить об обратной функции в классическом понимании уже нельзя.