Прямоугольная система координат в пространстве

Введение прямоугольной (декартовой) системы координат является основой для аналитической геометрии в пространстве. Она позволяет установить взаимно однозначное соответствие между точками пространства и упорядоченными тройками чисел.

Система задаётся тремя взаимно перпендикулярными осями, пересекающимися в точке O — начале координат.
Оси обозначаются: Ox (ось абсцисс), Oy (ось ординат), Oz (ось аппликат). На каждой оси выбирается общая масштабная единица.
Для произвольной точки M через неё проводятся плоскости, перпендикулярные осям. Точки пересечения этих плоскостей с осями — Mx, My, Mz.
Координатами точки M являются числа x (абсцисса), y (ордината), z (аппликата) — координаты точек Mx, My, Mz на соответствующих осях.

Таким образом, любой точке пространства можно поставить в соответствие упорядоченную тройку чисел (x, y, z) и наоборот.

Построение точки по её координатам

Существует два основных способа геометрического построения точки по заданным координатам.

Первый способ (через параллелепипед):
Для точки M1(1, 4, 3) на осях откладываются отрезки длиной 1, 4 и 3. Эти отрезки, взятые как рёбра из начала координат, задают прямоугольный параллелепипед. Искомая точка M1 находится на конце его диагонали, проведённой из точки O.

Второй способ (последовательное проецирование):
Для точки M2(-1, 2, 2) сначала в плоскости Oxy строится точка с координатами (-1, 2). Затем эта точка поднимается (или опускается) на величину аппликаты (z=2) перпендикулярно плоскости Oxy.

Расстояние между двумя точками (координатный метод)

Введение системы координат позволяет применять алгебраические методы к решению геометрических задач. Расстояние между точками находится через векторный аппарат.

Пусть даны точки: M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2).
Координаты вектора M1M2 равны разности соответствующих координат конца и начала: (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).
Расстояние d между точками равно длине этого вектора.

Формула для вычисления расстояния:
d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)

Пример: Для точек M1(1, 4, 3) и M2(-1, 2, 2) расстояние вычисляется как √((-1-1)² + (2-4)² + (2-3)²) = √(4 + 4 + 1) = √9 = 3.

Октанты

Три координатные плоскости (Oxy, Oxz, Oyz) делят пространство на восемь частей, называемых октантами. Каждый октант характеризуется определённой комбинацией знаков координат (+, +, +); (-, +, +); (+, -, +) и т.д.

Итоги

Прямоугольная система координат устанавливает связь между геометрией (точками, поверхностями) и алгеброй (числами, уравнениями). Поверхность в пространстве может быть описана уравнением, связывающим текущие координаты x, y, z принадлежащих ей точек.