Решение квадратных уравнений

Квадратное уравнение имеет стандартный вид: ax² + bx + c = 0, где x — неизвестная, а a, b, c — произвольные действительные числа. Алгоритм решения всегда начинается с вычисления дискриминанта.

Дискриминант (D) вычисляется по формуле: D = b² - 4ac. Его значение определяет количество и тип корней уравнения.

Примеры решения

Рассмотрим три характерных случая, зависящих от значения дискриминанта.

Пример 1: D > 0 (два различных корня)

Дано уравнение: x² + x - 12 = 0.

Коэффициенты: a = 1, b = 1, c = -12.
Дискриминант: D = 1² - 4 * 1 * (-12) = 1 + 48 = 49.
Поскольку D > 0, уравнение имеет два различных действительных корня.
Корни:
x₁ = (-1 + √49) / (2 * 1) = (-1 + 7) / 2 = 3
x₂ = (-1 - √49) / (2 * 1) = (-1 - 7) / 2 = -4

Пример 2: D = 0 (один корень, или два совпадающих)

Дано уравнение: 9x² - 6x + 1 = 0.

Дискриминант: D = (-6)² - 4 * 9 * 1 = 36 - 36 = 0.
Уравнение имеет один корень (или два одинаковых корня).
Корень: x = -(-6) / (2 * 9) = 6 / 18 = 1/3.

Пример 3: D < 0 (нет действительных корней)

Дано уравнение: x² + 3x + 5 = 0.

Дискриминант: D = 3² - 4 * 1 * 5 = 9 - 20 = -11.
Так как D < 0, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Количество и тип корней квадратного уравнения полностью определяются знаком его дискриминанта.