Конспект

Параметрические уравнения прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой получаются из её канонических уравнений и содержат дополнительный параметр, который упрощает решение ряда задач, например, нахождения точки пересечения прямой с плоскостью.

• Канонические уравнения прямой имеют вид: (x - x₀)/l = (y - y₀)/m = (z - z₀)/n, где (x₀, y₀, z₀) — координаты точки M₀ на прямой, а (l, m, n) — координаты направляющего вектора.
• Параметрические уравнения выводятся путём приравнивания отношений из канонических уравнений к параметру t: x = x₀ + l·t, y = y₀ + m·t, z = z₀ + n·t.
• Параметр t моделирует движение точки по прямой: при t = 0 точка совпадает с M₀, положительные и отрицательные значения t соответствуют точкам по разные стороны от M₀.

Изменение параметра Т как бы моделирует движение текущей точки M по данной прямой.

Пример решения задачи

Параметрические уравнения эффективны для нахождения точки пересечения прямой и плоскости. Алгоритм решения включает составление системы из параметрических уравнений прямой и уравнения плоскости.

Задача: Найти точку пересечения плоскости 3x - 5y + 4z - 27 = 0 с прямой (x - 1)/2 = (y + 2)/(-3) = (z - 4)/(-5).

1. Из канонического вида прямой определяем точку M₀(1, -2, 4) и направляющий вектор (2, -3, -5).
2. Записываем параметрические уравнения: x = 1 + 2t, y = -2 - 3t, z = 4 - 5t.
3. Подставляем выражения для x, y, z в уравнение плоскости, получая линейное уравнение относительно t: 3(1+2t) - 5(-2-3t) + 4(4-5t) - 27 = 0.
4. Решаем уравнение, находим t = -2.
5. Подставляем найденный параметр t обратно в параметрические уравнения для вычисления координат точки пересечения: x = -3, y = 4, z = 14.

Таким образом, искомая точка пересечения имеет координаты (-3, 4, 14).

Векторное уравнение прямой

Параметрические уравнения можно компактно представить в векторной форме, что является их обобщённой записью.

Если обозначить радиус-вектор начальной точки M₀ как r₀, а радиус-вектор текущей точки M как r, то векторное уравнение прямой записывается как:
r = r₀ + a·t, где a — направляющий вектор прямой, а t — параметр.