Ваш конспект

Некорректная задача на ЕГЭ по математике

Ключевые тезисы:

• На ЕГЭ (резервный день, восточная часть России, 2026) была дана задача с некорректным условием.
• Задача имела две части: пункт А (доказательство) и пункт Б (вычисление).
• В пункте Б в разных вариантах использовались числа 2.8, 2.4 и 7/3.
• Ошибка: При некоторых числовых данных (2.4 и 7/3) геометрическая конструкция, описанная в задаче, невозможна, что делает задачу не имеющей решения.
• Эта же ошибка присутствовала в аналогичной задаче ЕГЭ 2016 года.

Условие задачи

Дан треугольник ABC с углом B = 60°. В него вписана окружность, которая касается стороны AC в точке M.

• Пункт А: Доказать, что отрезок BM ≤ 3R (где R — радиус вписанной окружности).
• Пункт Б: Известно, что BM = k·R (где k — число из условия). Найти синус угла BMC.

Решение пункта А (корректное)

1. Центр вписанной окружности — точка O. Проводим радиусы OK ⟂ BC и OM ⟂ AC.
2. Так как BO — биссектриса угла B (60°), то ∠OBK = 30°.
3. В прямоугольном треугольнике OBK катет OK = R лежит против угла в 30°, следовательно, гипотенуза BO = 2R.
4. В треугольнике BOM по неравенству треугольника: BM < BO + OM = 2R + R = 3R.
5. Равенство BM = 3R достигается только в случае, когда точка O лежит на отрезке BM (т.е. в равностороннем треугольнике). Таким образом, BM ≤ 3R.

Проблема с пунктом Б и авторским решением

Предложенный ход решения (неполный и проблемный):

1. В треугольнике BOM известны все стороны: BO = 2R, OM = R, BM = k·R.
2. По теореме косинусов для угла α = ∠BMO находят cos α.
3. Замечают, что искомый ∠BMC = 90° + α (или 90° - α, в зависимости от порядка вершин A и C на стороне).
4. Используя формулу приведения, находят sin ∠BMC = |cos α|.

Недостатки авторского решения:

• Не учтена неоднозначность расположения точек A и C на стороне. Это даёт два возможных угла BMC (90° + α и 90° - α), но для синуса ответ совпадает.
• Главная проблема: Решение не проверяет, существует ли треугольник BOM с заданными сторонами при конкретном k.

Критический анализ и ограничение на k

Чтобы конструкция существовала, должен выполняться неравенство треугольника для BOM и условие на угол.

1. Рассмотрим угол β = ∠BOM в треугольнике BOM.
2. Из геометрии: ∠BOK = 60° (так как BO — биссектриса). Углы BOM и BOK в сумме с углом KOM дают больше 60°, анализ показывает, что ∠BOM > 120°.
3. Если угол β > 120°, то его косинус cos β < cos 120° = -1/2.
4. Запишем теорему косинусов для треугольника BOM, но для угла β:
   BM² = BO² + OM² - 2·BO·OM·cos β
(kR)² = (2R)² + R² - 2·2R·R·cos β
k²R² = 5R² - 4R²·cos β
5. Так как cos β < -1/2, то -cos β > 1/2. Подставляя это ограничение, получаем:
   k²R² > 5R² + 4R²·(1/2)
k²R² > 7R²
k > √7

Вывод: Для существования треугольника коэффициент k должен удовлетворять условию k > √7 ≈ 2.64575.

Некорректные данные в вариантах ЕГЭ

• k = 2.8: Задача корректна, так как 2.8 > √7. Ответ: sin ∠BMC = 11/10 (или другой в зависимости от вычислений).
• k = 2.4: Задача некорректна, так как 2.4 < √7. Геометрическая конструкция невозможна, решения нет.
• k = 7/3 (≈2.333): Задача некорректна, так как 7/3 < √7. Решения нет.

Итоги и исторический контекст

1. Ошибка повторилась: Аналогичная задача с некорректными числовыми данными (например, k=2.6) уже встречалась на ЕГЭ в 2016 году, но ошибка не была исправлена за 10 лет.
2. Ожидания по проверке: Участники, которые обнаружили и обосновали некорректность задачи (для k=2.4 или 7/3), должны получить за неё полный балл. Однако в авторских критериях оценивания этот случай не предусмотрен.
3. Рекомендация для решения: При решении геометрических задач с параметрами необходимо не только проводить вычисления, но и проверять условие существования описываемой конфигурации (неравенство треугольника, область значений углов).