📚 Теория полей и расширения: основы алгебры

Введение в курс алгебры (4 семестр)

Ключевые тезисы:

Курс является расширенным и охватывает фундаментальные разделы алгебры, важные для геометрии, топологии и математической физики.
Основной источник — лекции, но рекомендуется дополнительная литература.
Курс начинается с продолжения теории полей, изученной в 3-м семестре.

Организационная информация

Литература:

Винберг Э.Б. «Курс алгебры»
Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Часть 3. Основные структуры алгебры»
Курош А.Г. «Курс высшей алгебры»
Ван дер Варден Б.Л. «Алгебра»
Ленг С. «Алгебра»

Главный источник: Материал лекций, так как курс не следует строго какому-либо одному учебнику.

Напоминание основ теории полей

Определение поля

Поле — это коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент имеет обратный. Поле содержит более одного элемента (0 ≠ 1).

Примеры полей:

Числовые поля: ℚ (рациональные), ℝ (действительные), ℂ (комплексные).
Конечные поля (поля Галуа) Fₚ (для простого p) и Fₚⁿ.

Характеристика поля

Характеристика поля K (обозначается char(K)) — это наименьшее натуральное число p, такое что сумма p единиц равна нулю. Если такого числа нет, характеристика считается равной 0.

Пример: char(ℚ) = char(ℝ) = char(ℂ) = 0; char(Fₚⁿ) = p.

Свойство: Если характеристика поля p > 0, то p — простое число. Для таких полей справедлива формула Фробениуса: (a ± b)ᵖ = aᵖ ± bᵖ.

Эндоморфизм Фробениуса

Для поля K характеристики p > 0 отображение φ: K → K, заданное как φ(a) = aᵖ, является инъективным эндоморфизмом (гомоморфизмом поля в себя). Оно называется эндоморфизмом Фробениуса.

Если φ сюръективно (т.е. для любого a ∈ K существует b: bᵖ = a), то φ — автоморфизм.
Поля, для которых φ является автоморфизмом, называются совершенными. Все поля характеристики 0 и все конечные поля совершенны.

Расширения полей

Основные понятия

Расширение поля — это ситуация, когда поле L содержит поле K в качестве подполя (K ⊆ L). Обозначение: L/K.

Степень расширения [L : K] — это размерность L как векторного пространства над K. Может быть конечной или бесконечной.
Конечно порождённое расширение — расширение, порождённое над K конечным набором элементов {a₁, ..., aₛ}. Обозначается L = K(a₁, ..., aₛ). Каждый элемент L представляется в виде рациональной дроби от a₁, ..., aₛ с коэффициентами из K.
Простое расширение — расширение, порождённое одним элементом: L = K(a). Элемент a называется примитивным.

Примеры:

ℂ = ℝ(i) — простое расширение степени 2.
Поле рациональных функций K(x) — простое, но бесконечное расширение.
Конечное поле Fₚⁿ является простым расширением своего простого подполя Fₚ.

Алгебраические элементы и минимальный многочлен

Элемент a ∈ L называется алгебраическим над K, если он является корнем ненулевого многочлена с коэффициентами из K.

Минимальный многочлен алгебраического элемента a над K — это унитарный (со старшим коэффициентом 1) многочлен наименьшей степени с коэффициентами из K, имеющий a своим корнем. Он всегда неприводим.
Если a — алгебраический элемент, то простое расширение K(a) является конечным, и его степень равна степени минимального многочлена элемента a. Базис: {1, a, a², ..., aⁿ⁻¹}.

Конструкция расширения: Для любого неприводимого многочлена f(x) ∈ K[x] можно построить поле K[x]/(f(x)), которое будет простым расширением поля K, содержащим корень этого многочлена (класс x по модулю идеала). Такое расширение единственно с точностью до изоморфизма.

Связь классов расширений

Для расширения L/K эквивалентны следующие условия:

L/K — конечное расширение ([L : K] < ∞).
L/K — конечно порождённое и алгебраическое расширение.
L = K(a₁, ..., aₛ), где все aᵢ алгебраичны над K.

Ключевой вывод: Если расширение конечно порождено алгебраическими элементами, то оно автоматически является конечным (и алгебраическим).

Автоморфизмы расширений полей

Определение и примеры

Автоморфизм расширения полей L/K — это изоморфизм σ: L → L, тождественный на K (т.е. σ(a) = a для всех a ∈ K).

Множество всех автоморфизмов образует группу, обозначаемую Aut(L/K).
Пример: Aut(ℂ/ℝ) состоит из двух элементов: тождественного отображения и комплексного сопряжения.

Поле инвариантов

Для подмножества H ⊆ Aut(L/K) полем инвариантов Lᴴ называется множество элементов из L, неподвижных при действии всех автоморфизмов из H:
Lᴴ = {a ∈ L | σ(a) = a для всех σ ∈ H}.

Свойство: Lᴴ является подполем в L, содержащим K.

Теорема о группе Галуа (анонс)

Для конечного расширения L/K степени n и его группы автоморфизмов G = Aut(L/K) верно:

Группа G конечна.
|G| ≤ n (порядок группы не превосходит степени расширения).

Равенство |G| = n достигается тогда и только тогда, когда поле инвариантов всей группы Lᴳ совпадает с K.

Расширения Галуа

Конечное расширение L/K, для которого |Aut(L/K)| = [L : K], называется расширением Галуа. В этом случае группа автоморфизмов называется группой Галуа этого расширения.

Пример: Расширение ℂ/ℝ является расширением Галуа степени 2 с группой Галуа из двух элементов.