Квантовая электродинамика: Атом и поле
Ключевые тезисы:
- Объединение квантового описания атома водорода и квантованного электромагнитного поля.
- Введение операторов рождения и уничтожения фотонов и оператора числа частиц.
- Необходимость учёта взаимодействия атома с полем через теорию возмущений.
- Слабый характер электромагнитного взаимодействия (константа ~1/137).
- Переход от классического описания взаимодействия к квантовому через четырёхпотенциал.
Описание изолированных систем
Атом водорода 
- Описывается своим гамильтонианом (оператором энергии) и имеет дискретные стационарные состояния (1s, 2s, 2p и т.д.).
- В изоляции электрон может находиться на любом уровне бесконечно долго.
Квантованное электромагнитное поле 
- Поле описывается как набор гармонических осцилляторов (мод), каждая из которых соответствует определённой частоте (цвету), направлению и поляризации.
- Состояние поля — это набор чисел заполнения (N₁, N₂, ...) для каждой моды, где Nᵢ — число фотонов в i-й моде.
- Энергия поля в состоянии |N⟩: E = Σᵢ ħωᵢ (Nᵢ + 1/2). Член 1/2 ħω — это энергия нулевых колебаний вакуума.
Операторы поля
- Оператор уничтожения (a): Действуя на состояние с N фотонами, уменьшает их число на 1: a|N⟩ ∝ √N |N-1⟩.
- Оператор рождения (a†): Увеличивает число фотонов на 1: a†|N⟩ ∝ √(N+1) |N+1⟩.
- Оператор числа частиц (N̂): Комбинация a†a. Его действие на состояние даёт число фотонов: a†a|N⟩ = N|N⟩.
С помощью этих операторов гамильтониан поля записывается в компактном виде:
H_поле = Σᵢ ħωᵢ (aᵢ†aᵢ + 1/2)
Взаимодействие атома и поля
Изолированные системы (атом + поле) описываются простой суммой их гамильтонианов. Их общее состояние — произведение волновых функций: |Ψ⟩ = |атом⟩ ⊗ |поле⟩. В такой модели ничего не меняется со временем.
Чтобы описать реальные процессы (излучение, поглощение), необходимо ввести взаимодействие:
H_полный = H_атом + H_поле + H_взаимод
- H_взаимод — оператор взаимодействия, малый по сравнению с первыми двумя слагаемыми (константа связи ~ 1/137). Это позволяет применять теорию возмущений.
Теория возмущений
Основная идея: Если невозмущённая система (H₀ = H_атом + H_поле) решена точно, а возмущение (H_взаимод) мало, то его влияние можно учитывать последовательными приближениями.- Алгоритм: Находят решения для H₀, а затем "подправляют" их, учитывая H_взаимод. Это основной рабочий метод в квантовой механике для сложных систем.
Ограничение: Ряд теории возмущений должен сходиться (каждое следующее приближение вносит меньший вклад).
Значение метода: Позволяет с высочайшей точностью (до 8-10 знаков после запятой для водорода) рассчитывать свойства атомов и проверять фундаментальные теории.
Конструкция оператора взаимодействия
За основу берётся классическое выражение для энергии взаимодействия заряда с полем, записанное в релятивистски-инвариантной форме через четырёхпотенциал (φ, A) и четырёхток:
H_взаимод ~ ∫ (j · A) dV
Чтобы перейти к квантовому случаю:
- Используется кулоновская калибровка (φ = 0), что упрощает задачу, хотя и нарушает явную релятивистскую симметрию.
- Векторный потенциал A заменяется на его квантовый аналог — сумму по модам с операторами рождения/уничтожения.
- Плотность тока j для точечного электрона сводится к его импульсу (в системе единиц, где заряд и масса равны 1).
- В итоге H_взаимод становится оператором, зависящим от импульса электрона и операторов поля (a, a†).
Выводы и дальнейший путь
- Следующий шаг — подставить конкретный вид H_взаимод в схему теории возмущений и рассчитать вероятности переходов в атоме (излучение и поглощение фотонов).
- Проверка модели: Сравнение предсказаний такой полуклассической модели (нерелятивистский атом + квантованное поле в кулоновской калибровке) с экспериментом покажет её недостатки.
- Необходимость релятивизма: Для точного описания (особенно тонких эффектов) потребуется релятивистское уравнение для электрона (уравнение Дирака) и более аккуратная, релятивистски-инвариантная процедура квантования поля.