Уравнение прямой по двум точкам
Задача аналитической геометрии — составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки с известными координатами. Исходной формой является уравнение пучка прямых с неизвестным угловым коэффициентом.
- Уравнение пучка, проходящего через точку M₁(x₁, y₁): y - y₁ = k(x - x₁).
- Подстановка координат второй точки M₂(x₂, y₂) позволяет найти угловой коэффициент: k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) (при условии x₁ ≠ x₂).
- Подстановка найденного k в уравнение пучка и преобразование приводят к каноническому виду.
Полученное уравнение называют уравнением прямой, проходящей через две точки: (y - y₁) / (y₂ - y₁) = (x - x₁) / (x₂ - x₁).
Особые случаи
Исходный вывод предполагает, что x₁ ≠ x₂ и y₁ ≠ y₂, чтобы избежать деления на ноль. Умножение обеих частей уравнения на (y₂ - y₁)(x₂ - x₁) позволяет проанализировать вырожденные случаи.
- Если y₁ = y₂, то правая часть уравнения обращается в ноль. Уравнение принимает вид y = y₁ и описывает горизонтальную прямую, параллельную оси Ox.
- Если x₁ = x₂, то левая часть уравнения обращается в ноль. Уравнение принимает вид x = x₁ и описывает вертикальную прямую, параллельную оси Oy.
Пример решения
Требуется составить уравнение прямой, проходящей через точки A(-2, 5) и B(4, 1). Порядок присвоения координат (какая точка будет (x₁, y₁), а какая (x₂, y₂)) не влияет на результат.
- Подставляем координаты в общее уравнение: (y - 5) / (1 - 5) = (x - (-2)) / (4 - (-2)).
- После подстановки получаем: (y - 5) / (-4) = (x + 2) / 6.
- Последовательные преобразования (сокращение, перекрёстное умножение, раскрытие скобок) приводят к искомому уравнению прямой в явном виде.