Конспект

YouTubeМиноры и алгебраические дополнения

Минор элемента определителя

Минор — это определитель, порядок которого на единицу меньше исходного. Он получается вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит выбранный элемент.

  • Обозначение: Минор элемента aᵢⱼ обозначается как Mᵢⱼ.
  • Порядок: Для определителя n-го порядка минор любого его элемента является определителем (n-1)-го порядка.
  • Пример: Для нахождения минора M₃₁ определителя 3-го порядка вычёркивают третью строку и первый столбец, а оставшиеся четыре элемента записывают в виде определителя 2-го порядка, сохраняя их исходное расположение.

Минор любого элемента определителя есть определитель, порядок которого на единицу меньше, чем порядок исходного определителя.

Алгебраическое дополнение

Алгебраическое дополнение элемента aᵢⱼ — это его минор, взятый со знаком, который зависит от суммы индексов строки и столбца.

  • Формула: Алгебраическое дополнение Aᵢⱼ вычисляется как Aᵢⱼ = (-1)ⁱ⁺ʲ * Mᵢⱼ.
  • Знак: Если сумма индексов (i+j) чётная, знак плюс (дополнение совпадает с минором). Если сумма нечётная, знак минус (дополнение противоположно минору по знаку).
  • Примеры: Для элемента a₃₁ (3+1=4 — чётно) A₃₁ = M₃₁. Для элемента a₂₃ (2+3=5 — нечётно) A₂₃ = -M₂₃.

Для удобства запоминания знаков часто используют «шахматную» таблицу знаков (символический определитель), где знак «+» стоит на позициях с чётной суммой индексов, а «-» — с нечётной.

Раскрытие определителя (разложение по строке или столбцу)

Это метод вычисления определителя, основанный на использовании алгебраических дополнений. Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (или любого столбца) на их алгебраические дополнения.

Алгоритм вычисления на примере разложения по первому столбцу:

  1. Для каждого элемента выбранного столбца найти его алгебраическое дополнение.
  2. Умножить каждый элемент столбца на соответствующее ему алгебраическое дополнение.
  3. Сложить все полученные произведения. Результат равен значению определителя.

Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.