Выделение полного квадрата
Этот приём используется для преобразования квадратичной функции вида f(x) = ax² + bx + c и основан на формулах сокращённого умножения — квадрата суммы или разности. Он применяется при решении уравнений, построении графиков и вычислении интегралов.
Алгоритм преобразования на примере
Рассмотрим функцию f(x) = 3x² - 4x + 6.
Шаг 1: Вынесение коэффициента при x²
Выносим коэффициент a (в данном случае 3) за скобку:3(x² - (4/3)x + 2)
Шаг 2: Формирование удвоенного произведения
В выражении x² - (4/3)x нужно выделить удвоенное произведение 2 * x * (b). Для этого коэффициент перед x умножаем на 1/2:-(4/3) * (1/2) = -2/3
Таким образом, второе число для формулы — 2/3.
Шаг 3: Добавление и вычитание квадрата второго числа
Чтобы равенство не изменилось, прибавляем и вычитаем квадрат найденного числа (2/3)² = 4/9:3[ x² - (4/3)x + 4/9 - 4/9 + 2 ]
Шаг 4: Свёртывание в квадрат разности и упрощение
Первые три слагаемых в скобках сворачиваются по формуле (x - 2/3)². Затем упрощаем оставшиеся константы:-4/9 + 2 = -4/9 + 18/9 = 14/9
Окончательный вид функции после умножения на коэффициент 3:f(x) = 3(x - 2/3)² + 14/3
Итогом преобразования является представление квадратичной функции в виде
a(x - m)² + n, где координаты(m; n)задают вершину параболы.