Конспект

YouTubeНормальное уравнение плоскости

Нормальное уравнение плоскости

Нормальное уравнение — это особая форма записи уравнения плоскости в пространстве, которая получается из общего уравнения путём нормировки. Оно позволяет легко определить расстояние от начала координат до плоскости и содержит в себе геометрический смысл параметров.

Получение нормального уравнения

Исходным является общее уравнение плоскости: AX + BY + CZ + D = 0, где (A, B, C) — координаты нормального вектора N, а D связано с координатами точки, лежащей на плоскости.

  • Чтобы получить нормальное уравнение, обе части общего уравнения умножаются на нормирующий множитель m = ±1/√(A² + B² + C²).
  • Знаменатель нормирующего множителя — это длина вектора нормали |N|.
  • Знак m выбирается противоположным знаку свободного члена D (если D > 0, то m < 0, и наоборот).

Геометрический смысл коэффициентов

После умножения на нормирующий множитель общее уравнение преобразуется в нормальный вид.

  • Коэффициенты при переменных x, y, z становятся направляющими косинусами нормального вектора: cos α, cos β, cos γ. Это координаты единичного нормального вектора n°.
  • Свободный член p в уравнении x cos α + y cos β + z cos γ - p = 0 имеет важный геометрический смысл: p — это расстояние от начала координат до плоскости.

Расстояние p равно проекции радиус-вектора любой точки плоскости на направление единичного нормального вектора n°.

Замечания и применение

Нормальное уравнение обладает наглядными геометрическими свойствами, которые упрощают решение задач.

  • Направление нормали: Если поместить начало единичного нормального вектора n° в начало координат, он будет направлен в сторону плоскости.
  • Расстояние до точки: С помощью нормального уравнения очень удобно находить расстояние от произвольной точки пространства до данной плоскости (это будет рассмотрено отдельно).

Пример составления нормального уравнения

Рассмотрим преобразование общего уравнения 2x - y - 2z + 12 = 0 в нормальное.

  1. Находим нормирующий множитель:

    • Длина нормального вектора: √(2² + (-1)² + (-2)²) = √9 = 3.
    • Свободный член D = 12 (положительный), поэтому берём m = -1/3.

  2. Умножаем общее уравнение на множитель:

    • Умножая все члены на -1/3, получаем: -2/3 x + 1/3 y + 2/3 z - 4 = 0.

Итоговое нормальное уравнение: x cos α + y cos β + z cos γ - p = 0, где направляющие косинусы равны (-2/3, 1/3, 2/3), а расстояние от начала координат до плоскости p = 4.