Решение сложного тригонометрического уравнения
Ключевые тезисы
- Решение уравнения сводится к квадратному относительно sin x с коэффициентами, выраженными через cos x.
- Дискриминант этого квадратного уравнения всегда ≤ 0, поэтому корни возможны только при D = 0.
- Уравнение имеет единственную серию корней: x = π/6 + 2πn.
- Существует два метода решения: «в лоб» через дискриминант и «неочевидный» через выделение полных квадратов.
Общий подход к тригонометрии
При решении сложных тригонометрических уравнений полезны два правила:
- Свести разные функции к одной (например, все к sin x через основное тригонометрическое тождество).
- Свести разные аргументы к одинаковым (например, двойные углы к одинарным).
Решение «в лоб» (первый способ)
Уравнение: sin²(2x) - √3 sin(2x) + 2cos²x - sin x = 0
Шаг 1: Преобразование
- sin(2x) раскрываем как 2 sin x cos x.
- cos²x заменяем на 1 - sin²x.
- После преобразования уравнение принимает вид:
4 sin²x cos²x - 2√3 sin x cos x + sin²x - sin x + 1 = 0.
Шаг 2: Группировка и замена
- Группируем слагаемые с sin²x и sin x.
- Выполняем замену t = sin x.
- Получаем квадратное уравнение относительно t:
(4 cos²x + 1) t² - (2√3 cos x + 1) t + 1 = 0.
Шаг 3: Анализ дискриминанта
- Дискриминант D = (2√3 cos x + 1)² - 4(4 cos²x + 1).
- После преобразования: D = -(2 cos x - √3)².
- Дискриминант всегда ≤ 0. Корни возможны только при D = 0.
Шаг 4: Условие D = 0
- -(2 cos x - √3)² = 0 → 2 cos x - √3 = 0.
- Отсюда: cos x = √3/2 → x = ±π/6 + 2πn.
Шаг 5: Проверка кандидатов в общем корне
- Корень квадратного уравнения при D=0: t = (2√3 cos x + 1) / (8 cos²x + 2).
- Подставляем x = π/6: sin x = 1/2, правая часть также равна 1/2 → корень подходит.
- Подставляем x = -π/6: sin x = -1/2, правая часть = 1/2 → корень не подходит.
Ответ для пункта А: x = π/6 + 2πn.
Отбор корней на отрезке (пункт Б)
Отрезок: [-3π/2, π/2]
- На отрезке находятся две точки из серии π/6 + 2πn:
- x₁ = -2π + π/6 = -11π/6
- x₂ = 0 + π/6 = π/6
Ответ для пункта Б: -11π/6, π/6.
Неочевидный способ (второй способ)
После начальных преобразований уравнение приводится к виду:
sin²(2x) - √3 sin(2x) + sin²x - sin x + 1 = 0.
Идея: Выделить два полных квадрата, «расщепив» единицу на 3/4 и 1/4.
Преобразование:
- Первая группа: sin²(2x) - √3 sin(2x) + 3/4 = (sin(2x) - √3/2)²
- Вторая группа: sin²x - sin x + 1/4 = (sin x - 1/2)²
Уравнение становится: (sin(2x) - √3/2)² + (sin x - 1/2)² = 0.
Решение системы:
- Сумма квадратов равна нулю только если каждый равен нулю.
- sin(2x) = √3/2 → 2x = π/3 + 2πn или 2π/3 + 2πn → x = π/6 + πn или π/3 + πn.
- sin x = 1/2 → x = π/6 + 2πn или 5π/6 + 2πn.
Общее решение системы: совпадает только точка x = π/6 + 2πn.
Выводы
- Ключевой момент — не бояться решать квадратные уравнения, где коэффициенты выражены через другие функции.
- Дискриминант может оказаться отрицательным для большинства x, и корни существуют только при его равенстве нулю.
- Второй способ требует высокой алгебраической интуиции для выделения полных квадратов.