Ваш конспект

Уравнение Бернулли

Ключевые тезисы:

• Уравнение Бернулли — это нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка специального вида.
• Его можно свести к линейному уравнению с помощью специальной замены переменных.
• Решение состоит из двух этапов: решение полученного линейного уравнения и обратная замена.

Общий вид уравнения

Уравнение Бернулли имеет вид:
y' + p(x)y = q(x)y^α

Где:

• α ≠ 0 и α ≠ 1. Если α = 0, уравнение становится линейным, а если α = 1 — уравнением с разделяющимися переменными.

Метод решения (приведение к линейному)

1. Преобразование уравнения: Умножаем исходное уравнение на множитель (1-α)y^(-α).
2. Замена переменной: Вводим новую функцию:
   z = y^(1-α)
   Тогда её производная: z' = (1-α)y^(-α) * y'
3. Получение линейного уравнения: После подстановки замены в преобразованное уравнение получаем линейное дифференциальное уравнение относительно z:
   z' + (1-α)p(x)z = (1-α)q(x)

Алгоритм решения

1. Определить коэффициенты p(x), q(x) и показатель α.
2. Выполнить замену z = y^(1-α).
3. Решить полученное линейное уравнение (например, методом вариации постоянной или подстановкой Бернулли z = u*v).
4. Найти исходную функцию y через обратную замену:
   y = z^(1/(1-α))
5. Если задано начальное условие (задача Коши), подставить его для нахождения постоянной интегрирования C.

Пример решения задачи Коши

Дано уравнение: y' + 3y = e^(2x) * y² с условием y(0) = 1.

Решение:

1. Определяем параметры: p(x) = 3, q(x) = e^(2x), α = 2.
2. Выполняем замену: z = y^(1-2) = y^(-1) = 1/y.
3. Составляем линейное уравнение: z' + (1-2)*3*z = (1-2)*e^(2x) → z' - 3z = -e^(2x).
4. Решаем линейное уравнение (методом Бернулли z = u*v):
   • Находим v = e^(3x).
   • Находим u = ∫(-e^(2x)/e^(3x))dx = ∫(-e^(-x))dx = e^(-x) + C.
   • Получаем z = u*v = e^(2x) + C*e^(3x).
5. Возвращаемся к y: y = 1/z = 1 / (e^(2x) + C*e^(3x)).
6. Находим константу C из начального условия:
   y(0) = 1 / (1 + C) = 1 → C = 0.
7. Окончательное решение задачи Коши: y = 1 / e^(2x) = e^(-2x).

Выводы:

• Уравнение Бернулли решается стандартным алгоритмом через замену переменной.
• Ключевой шаг — преобразование к линейному уравнению относительно функции z = y^(1-α).
• После решения линейного уравнения необходимо не забыть вернуться к исходной функции y.