Ваш конспект

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Ключевые тезисы:

• Уравнение имеет вид: y' + p(x)y = q(x), где p(x) не тождественно равно нулю.
• Основной метод решения — подстановка Бернулли (y = u(x) * v(x)).
• Решение можно получить по готовой формуле, выведенной из этого метода.
• Уравнение иногда удобно решать, рассматривая x как функцию от y.

Общий вид уравнения

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка — это уравнение вида:
y' + p(x)y = q(x), где p(x) ≢ 0.

Если p(x) = 0, уравнение сводится к простому интегрированию: y' = q(x).
Если q(x) = 0, уравнение становится уравнением с разделяющимися переменными.

Метод решения: подстановка Бернулли

Ищем решение в виде произведения двух функций:
y = u(x) * v(x)

Алгоритм решения:

1. Подстановка:

   • y' = u'v + uv'
   • Подставляем в исходное уравнение: u'v + uv' + p(x)uv = q(x)

2. Группировка:

   • Выносим u за скобки: u'v + u(v' + p(x)v) = q(x)

3. Решение относительно v(x):

   • Приравниваем выражение в скобках к нулю: v' + p(x)v = 0
   • Это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:
     • dv/dx + p(x)v = 0 → dv/v = -p(x)dx
     • Интегрируем: ln|v| = -∫p(x)dx
     • Для удобства константу интегрирования берем равной нулю.
     • Получаем: v(x) = e^(-∫p(x)dx)

4. Решение относительно u(x):

   • Подставляем найденное v(x) в уравнение: u' * v(x) = q(x)
   • Отсюда: u' = q(x) / v(x) = q(x) * e^(∫p(x)dx)
   • Интегрируем: u(x) = ∫[q(x) * e^(∫p(x)dx)] dx + C

5. Окончательное решение:

   • y(x) = u(x) * v(x) = e^(-∫p(x)dx) * [ ∫(q(x) * e^(∫p(x)dx) dx + C ]

Пример решения методом Бернулли

Дано уравнение: y' + (1/x)y = 1 + 2ln(x)

1. Замена: y = u * v, y' = u'v + uv'
2. Подстановка: u'v + uv' + (1/x)uv = 1 + 2ln(x)
3. Находим v: Решаем v' + (1/x)v = 0
   • dv/v = -dx/x → ln|v| = -ln|x| → v = 1/x
4. Находим u: Подставляем v в уравнение: u' * (1/x) = 1 + 2ln(x)
   • u' = x + 2x ln(x)
   • Интегрируем: u = ∫(x + 2x ln(x)) dx = (x²/2)ln(x²) + C = x² ln|x| + C
5. Ответ: y = u * v = (x² ln|x| + C) * (1/x) = x ln|x| + C/x

Решение относительно другой переменной

Иногда уравнение не является линейным относительно y(x), но может стать линейным относительно x(y).

Пример: 2x - y² = 2y * (dy/dx)

1. Перепишем, выразив dx/dy: dx/dy - (1/y)x = -y/2
2. Получили линейное уравнение относительно x(y) вида: x' + p(y)x = q(y)
3. Решаем аналогично, с заменой x = u(y) * v(y).

Итог и выводы

• Готовая формула — самый быстрый способ получить общее решение. Константу C добавляем только в самом конце, при вычислении интеграла для u(x).
• Метод Бернулли (замена y = u*v) — универсальный и наглядный алгоритмический подход.
• Если уравнение нелинейно относительно y, стоит попробовать рассмотреть его относительно x.
• Оба метода (формула и подстановка) приводят к одному и тому же результату.