Конспект

Введение в курс математического анализа

Курс посвящён основам математического анализа для нематематических специальностей. Лекции будут включать объяснения, примеры и доказательства, но знание строгих доказательств не является обязательным требованием. Первые лекции посвятят фундаментальным понятиям: элементам теории множеств, основам вещественных чисел и числовой прямой, а также понятию предела.

Элементы теории множеств

Теория множеств — необходимая основа для понимания математического анализа. Её развитие началось в XIX веке, и сейчас она является общепризнанным языком современной математики.

• Множество — это совокупность объектов (элементов), объединённых по какому-либо признаку. Природа элементов не важна; ключево, что они образуют единую коллекцию.
• Пример конечного множества: {1, 3, 5, 135, Марс}. Порядок элементов в множестве не имеет значения.
• Натуральные числа обозначаются как N = {1, 2, 3, ...}. Символ n используется для обозначения произвольного натурального числа.

Множество — это когда какие-то элементы собраны в кучу.

Сравнение и операции над множествами

Множества можно сравнивать и над ними можно производить операции, аналогичные арифметическим.

Сравнение множеств

• Подмножество (A ⊆ B): Множество A является подмножеством B, если каждый элемент A принадлежит также и B.
• Равенство множеств (A = B): Множества равны, если A ⊆ B и одновременно B ⊆ A.
• Для записи используются логические символы: ∀ (для любого), ∃ (существует).

Основные операции

• Объединение (A ∪ B): Множество элементов, принадлежащих A или B.
• Пересечение (A ∩ B): Множество элементов, принадлежащих и A, и B.
• Разность (A \ B): Множество элементов, принадлежащих A, но не принадлежащих B. Если множества не пересекаются, то A \ B = A.

Свойства операций

Операции объединения и пересечения обладают свойствами, похожими на сложение и умножение чисел:

• Коммутативность: A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A.
• Ассоциативность: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C); (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). Это позволяет говорить об объединении и пересечении любого (в том числе бесконечного) числа множеств.
• Дистрибутивность: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) и A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Это аналог распределительного закона в арифметике.

Мощность множеств

Мощность — это характеристика, обобщающая понятие «количество элементов» на бесконечные множества.

Мощность конечных множеств

Для конечных множеств мощность — это просто число элементов. Множество A мощнее B, если в A больше элементов. Если элементов поровну, множества равномощны.

Равномощность и счётные множества

• Два множества равномощны, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию).
• Множество, равномощное множеству натуральных чисел N, называется счётным. Его элементы можно перенумеровать: 1, 2, 3, ...
• Пример: множество всех целых чисел Z также счётно, так как его элементы можно занумеровать (0, 1, -1, 2, -2, ...).

Свойства счётных множеств

• Любое бесконечное подмножество счётного множества само является счётным.
• Объединение конечного или даже счётного числа счётных множеств остаётся счётным множеством.
• Счётная мощность — это минимальная бесконечная мощность. Не существует бесконечного множества, которое было бы меньше счётного.

Несчётные множества. Теорема Кантора

Существуют множества, мощность которых больше счётной.

• Множество всех подмножеств данного множества A обозначается P(A) (буквой P каллиграфически).
• Для конечного множества из n элементов мощность P(A) равна 2^n, что больше n.
• Теорема Кантора: Множество всех подмножеств счётного множества имеет мощность, строго большую, чем само счётное множество. Это доказывает существование бесконечности более высокого порядка.
• Таким образом, не существует максимальной бесконечной мощности — всегда можно построить множество ещё большей мощности (например, взяв множество всех подмножеств).
• Пример множества мощности, большей счётной — множество всех вещественных чисел, которое будет рассмотрено далее.