Расстояние от точки до прямой
Задача состоит в нахождении расстояния от заданной точки до прямой на координатной плоскости. Точка имеет координаты M₀(x₀, y₀) и не лежит на прямой, которая задана нормальным уравнением.
Вывод формулы через нормальное уравнение
Прямая задана нормальным уравнением, где cos α и sin α — координаты единичного нормального вектора e, а p — расстояние от начала координат до прямой. Искомое расстояние D равно длине перпендикуляра, опущенного из точки M₀ на прямую.
- Рассматривается скалярное произведение векторов M₁M₀ и e, где M₁ — основание перпендикуляра на прямой.
- Эти векторы коллинеарны, поэтому косинус угла между ними равен либо +1, либо -1. Следовательно, их скалярное произведение равно ±D.
- В координатной форме это скалярное произведение равно (x₀ - x₁)cos α + (y₀ - y₁)sin α.
- Так как точка M₁ лежит на прямой, её координаты удовлетворяют нормальному уравнению: x₁cos α + y₁sin α = p.
Окончательная формула расстояния: D = |x₀cos α + y₀sin α - p|.
Таким образом, чтобы найти расстояние, нужно подставить координаты точки в левую часть нормального уравнения прямой и взять результат по модулю.
Если прямая задана общим уравнением
Когда прямая задана общим уравнением Ax + By + C = 0, есть два способа найти расстояние от точки до неё:
- Привести общее уравнение к нормальному виду и использовать выведенную формулу.
- Воспользоваться готовой формулой, которая является следствием первой.
Готовая формула: D = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²).
Пример решения задачи
Даны точки: P(0, 5), Q(3, 1), R(-3, -1). Требуется найти длину высоты, опущенной из вершины R на сторону PQ.
- Сначала находится уравнение прямой, проходящей через точки P и Q. В результате получается общее уравнение: 4x + 3y - 15 = 0 (здесь A=4, B=3, C=-15).
- Координаты точки R: x₀ = -3, y₀ = -1.
- Расстояние вычисляется по формуле: D = |4*(-3) + 3*(-1) - 15| / √(4² + 3²) = | -12 - 3 - 15 | / 5 = | -30 | / 5 = 6.
Искомое расстояние (длина высоты) равно 6.