Минор элемента определителя
Минор — это вспомогательный определитель, который получается из исходного вычёркиванием одной строки и одного столбца. Порядок минора всегда на единицу меньше порядка исходного определителя.
- Определение: Минором элемента aᵢⱼ определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, получаемый вычёркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит этот элемент.
- Обозначение: Минор элемента aᵢⱼ традиционно обозначается как Mᵢⱼ.
- Пример: Для элемента a₃₁ определителя 3-го порядка минор M₃₁ — это определитель 2-го порядка из оставшихся после вычёркивания 3-й строки и 1-го столбца элементов, сохранённых в их исходном порядке.
Минор любого элемента определителя есть определитель, порядок которого на единицу меньше, чем порядок исходного определителя.
Алгебраическое дополнение
Алгебраическое дополнение — это минор, взятый с определённым знаком, который зависит от положения элемента в определителе.
- Формула: Алгебраическое дополнение Aᵢⱼ элемента aᵢⱼ равно: Aᵢⱼ = (-1)ⁱ⁺ʲ * Mᵢⱼ, где i и j — номера строки и столбца.
- Знак: Знак определяется степенью (-1). Если сумма индексов (i+j) чётная, то дополнение совпадает по знаку с минором (Aᵢⱼ = Mᵢⱼ). Если сумма нечётная, то знак противоположный (Aᵢⱼ = -Mᵢⱼ).
- Пример: Для элемента a₃₁ (3+1=4 — чётное) A₃₁ = M₃₁. Для элемента a₂₃ (2+3=5 — нечётное) A₂₃ = -M₂₃.
Для удобства запоминания знаков часто используют символический определитель, где знаки «+» и «-» расставлены в шахматном порядке, начиная с «+» в левом верхнем углу.
Раскрытие определителя (разложение по строке или столбцу)
Это метод вычисления определителя, основанный на использовании алгебраических дополнений. Определитель можно вычислить, разложив его по элементам любой строки или любого столбца.
- Правило: Определитель равен сумме произведений элементов выбранной строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.
- Формула для строки: Δ = aᵢ₁Aᵢ₁ + aᵢ₂Aᵢ₂ + ... + aᵢₙAᵢₙ (разложение по i-й строке).
- Формула для столбца: Δ = a₁ⱼA₁ⱼ + a₂ⱼA₂ⱼ + ... + aₙⱼAₙⱼ (разложение по j-му столбцу).
Пример вычисления определителя 3-го порядка разложением по первому столбцу:
- Находим алгебраические дополнения элементов первого столбца (a₁₁, a₂₁, a₃₁).
- Вычисляем: A₁₁ = M₁₁ = 96, A₂₁ = -M₂₁ = -75, A₃₁ = M₃₁ = 36.
- Подставляем в формулу: Δ = (a₁₁ * A₁₁) + (a₂₁ * A₂₁) + (a₃₁ * A₃₁) = (3 * 96) + (12 * (-75)) + (7 * 36) = -360.
Итоговое значение определителя равно -360.