Определение производной
Производная функции в точке — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Функция считается дифференцируемой в точке, если этот предел существует и конечен.
- Производная в точке x₀: f'(x₀) = lim (Δx→0) (f(x₀ + Δx) - f(x₀)) / Δx
- Односторонние производные: Для исследования на границах отрезка определяют правую (предел при Δx→+0) и левую (предел при Δx→-0) производные.
- Критерий существования: Производная в точке существует тогда и только тогда, когда в этой точке существуют и равны между собой правая и левая производные.
Пример: у функции f(x) = |x| в точке x=0 правая производная равна +1, левая равна -1. Поскольку они не совпадают, производной в нуле не существует.
Дифференцируемость и дифференциал
Функция называется дифференцируемой в точке x₀, если её приращение можно представить в виде: Δf = A·Δx + o(Δx), где A — некоторая константа, не зависящая от Δx, а o(Δx) — величина, стремящаяся к нулю быстрее, чем Δx.
- Связь с производной: Если функция дифференцируема, то константа A в этом разложении равна производной f'(x₀). Таким образом, дифференцируемость функции в точке эквивалентна существованию конечной производной в этой точке.
- Дифференциал: Главная линейная часть приращения функции A·Δx = f'(x₀)·Δx называется дифференциалом первого порядка и обозначается df(x₀).
- Формула дифференциала: df(x₀) = f'(x₀) dx, где dx — дифференциал независимой переменной (равный Δx).
Дифференцируемость является более сильным условием, чем непрерывность: из дифференцируемости функции в точке следует её непрерывность в этой точке. Обратное неверно (пример: f(x)=|x| непрерывна, но не дифференцируема в нуле).
Техника дифференцирования
Набор правил, позволяющих вычислять производные и дифференциалы сложных комбинаций функций, расширяя класс дифференцируемых функций.
Арифметические операции: Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в точке, то в этой точке дифференцируемы их сумма, разность, произведение и частное (где знаменатель не равен нулю). Формулы:
- (f ± g)' = f' ± g'
- (f · g)' = f'·g + f·g'
- (f / g)' = (f'·g - f·g') / g²
Соответствующие формулы справедливы и для дифференциалов.
Дифференцирование сложной функции (цепное правило): Если функция u = g(x) дифференцируема в точке x₀, а функция y = f(u) дифференцируема в соответствующей точке u₀ = g(x₀), то сложная функция y = f(g(x)) также дифференцируема в x₀, и её производная равна: (f(g(x)))' = f'(u₀) · g'(x₀). Для композиции нескольких функций производная равна произведению производных всех звеньев "по цепочке".
Дифференцирование обратной функции: Если функция y = f(x) строго монотонна и дифференцируема на интервале, и f'(x₀) ≠ 0, то обратная функция x = f⁻¹(y) дифференцируема в соответствующей точке y₀ = f(x₀), и её производная равна: (f⁻¹)'(y₀) = 1 / f'(x₀).
Основные теоремы о дифференцируемых функциях
Эти теоремы устанавливают важные связи между поведением функции на отрезке и значениями её производной.
Теорема Ролля: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b) и на концах отрезка принимает равные значения (f(a) = f(b)), то внутри интервала найдётся хотя бы одна точка c ∈ (a, b), такая что f'(c) = 0.
Геометрический смысл: на графике функции найдётся точка, где касательная горизонтальна.
Теорема Лагранжа (формула конечных приращений): Если функция f(x) непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b), то существует точка c ∈ (a, b), такая что выполняется равенство: f(b) - f(a) = f'(c) · (b - a).
Геометрический смысл: на графике найдётся точка, где касательная параллельна хорде, соединяющей концы графика на отрезке. Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа при f(a) = f(b).
Теорема Коши (обобщённая формула конечных приращений): Если функции f(x) и g(x) непрерывны на [a, b], дифференцируемы на (a, b), и g'(x) ≠ 0 на (a, b), то существует точка c ∈ (a, b), такая что: (f(b) - f(a)) / (g(b) - g(a)) = f'(c) / g'(c).
Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши при g(x) = x.
Правило Лопиталя
Мощный инструмент для раскрытия неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ при вычислении пределов.
Формулировка: Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в проколотой окрестности точки a (которая может быть конечной или бесконечной). И пусть выполняется одно из условий:
- lim (x→a) f(x) = lim (x→a) g(x) = 0
- lim (x→a) |g(x)| = ∞
Если существует предел отношения их производных lim (x→a) f'(x)/g'(x) (конечный или бесконечный), то тогда существует и предел отношения самих функций, и они равны:
lim (x→a) f(x)/g(x) = lim (x→a) f'(x)/g'(x).
Правило также применимо для односторонних пределов. Оно позволяет заменять расчёт предела отношения функций на (часто более простой) расчёт предела отношения их производных.