Конспект

Нормальное уравнение прямой

Нормальное уравнение прямой — это особая форма записи, удобная для решения задач аналитической геометрии. Оно выводится из общего уравнения и имеет простой геометрический смысл.

Вывод нормального уравнения

Пусть прямая задана точкой M₀ и единичным нормальным вектором E, направленным от начала координат к прямой. Этот вектор образует с осью OX угол α, поэтому его координаты: (cos α, sin α).

• Возьмём произвольную точку M(x, y) на прямой. Векторы E и M₀M перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю.
• Преобразуя это равенство, получаем уравнение: x * cos α + y * sin α - p = 0.

Такое уравнение называется нормальным уравнением прямой.

Геометрический смысл параметров

Параметры нормального уравнения имеют чёткую геометрическую интерпретацию:

• α (полярный угол) — угол между перпендикуляром, опущенным из начала координат на прямую, и положительным направлением оси OX.
• p (полярный радиус) — длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую (всегда p ≥ 0).

Вместе α и p называются полярными параметрами прямой.

Приведение общего уравнения к нормальному виду

Чтобы преобразовать общее уравнение Ax + By + C = 0 в нормальное, обе его части умножают на нормирующий множитель μ.

• μ = ± 1 / √(A² + B²)
• Знаменатель — длина исходного нормального вектора. Умножение на μ превращает его в единичный вектор (cos α, sin α).
• Знак μ выбирается противоположным знаку свободного члена C, чтобы обеспечить положительность параметра p в итоговом уравнении.

Пример приведения

Дано общее уравнение: 12x - 5y + 26 = 0.

• Коэффициенты: A = 12, B = -5, C = 26 (C > 0).
• Вычисляем нормирующий множитель: μ = -1 / √(12² + (-5)²) = -1/13.
• Умножаем уравнение на μ: -12/13 x + 5/13 y - 2 = 0.

Получено нормальное уравнение, где:

• cos α = -12/13, sin α = 5/13 → α ≈ 158°
• p = 2 (длина перпендикуляра от начала координат к прямой).

Для построения прямой достаточно отложить от начала координат угол α, на его луче отмерить отрезок длины p, и через полученную точку провести прямую, перпендикулярную этому лучу.