Деление многочленов
Если степень числителя P меньше степени знаменателя Q, рациональная дробь называется правильной. В противном случае её можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной дроби.
- Целая часть (частное): Многочлен S степени K, где
K = N - M(разность степеней числителя и знаменателя). - Остаток: Многочлен R в числителе правильной дроби, степень которого L меньше степени знаменателя Q.
Общий вид: P(x)/Q(x) = S(x) + R(x)/Q(x)
Алгоритм деления "уголком"
Процесс аналогичен делению чисел в столбик и выполняется последовательно до тех пор, пока степень остатка не станет меньше степени делителя.
Пример деления
Дана дробь: (x³ - 3x² + 2x - 6) / (x² + 1).
Шаг 1: Делим старший член делимого (x³) на старший член делителя (x²). Первое слагаемое частного: x.
Умножаем x * (x² + 1) = x³ + x и вычитаем из делимого. Первый остаток: -3x² + x - 6.
Шаг 2: Делим новый старший член (-3x²) на x². Второе слагаемое частного: -3.
Умножаем -3 * (x² + 1) = -3x² - 3 и вычитаем. Второй остаток: x - 3.
Шаг 3: Делим старший член остатка (x) на x². Третье слагаемое частного: -1 (так как x / x² = 1/x, но в целую часть не входит, проверяем корректность: на этом шаге часто допускается ошибка, в корректном алгоритме деление прекращается, когда степень остатка меньше степени делителя. В данном случае после шага 2 остаток x - 3 уже имеет степень 1, что меньше степени делителя 2).
Итог: Процесс деления завершён после шага 2, так как степень полученного остатка (1) меньше степени делителя (2).
Результат:
- Целая часть (частное):
x - 3 - Остаток:
x - 3 - Правильная дробь:
(x - 3) / (x² + 1)
Окончательный ответ: (x³ - 3x² + 2x - 6) / (x² + 1) = (x - 3) + (x - 3)/(x² + 1)
В представленной расшифровке есть техническая неточность в описании шага 3. Ключевое правило: деление продолжается только до тех пор, пока степень текущего остатка не станет строго меньше степени делителя.