Конспект

YouTubeСобственные значения и векторы матрицы

Многочлены и операции над ними

Многочлен степени n — это функция вида P(z) = a₀ + a₁z + ... + aₙzⁿ, где коэффициенты aᵢ — комплексные числа, а z — комплексная переменная. Множество многочленов образует линейное пространство, в котором определены стандартные операции.

  • Сложение и умножение на число: Коэффициенты при одинаковых степенях складываются или умножаются на число. Степень суммы не превышает максимальной степени слагаемых.
  • Умножение многочленов: Выполняется по правилу раскрытия скобок. Степень произведения равна сумме степеней множителей.
  • Деление с остатком: Для любых многочленов P(z) и S(z) (где S(z) ≠ 0) существуют единственные многочлены Q(z) (частное) и R(z) (остаток) такие, что P(z) = S(z)Q(z) + R(z), причём степень остатка R(z) строго меньше степени делителя S(z).

Деление без остатка возможно тогда и только тогда, когда остаток R(z) тождественно равен нулю.

Корни многочлена и основная теорема алгебры

Корнем многочлена P(z) называется число α такое, что P(α) = 0. Если α — корень, то многочлен P(z) делится на (z - α) без остатка.

  • Основная теорема алгебры: Всякий многочлен степени n ≥ 1 имеет в комплексной плоскости ровно n корней с учётом их кратности.
  • Разложение на множители: С учётом кратности корней α₁, α₂, ..., αₙ многочлен можно представить в виде P(z) = aₙ(z - α₁)(z - α₂)...(z - αₙ), где aₙ — старший коэффициент.
  • Сопряжённые корни: Если многочлен имеет вещественные коэффициенты, то его комплексные корни встречаются сопряжёнными парами (если α — корень, то и ᾱ — корень).

Таким образом, каждый многочлен полностью определяется своим старшим коэффициентом и набором корней с учётом кратности.

Собственные значения и векторы матрицы

Задача о собственных значениях — одна из центральных в линейной алгебре. Для квадратной матрицы A размера n×n собственным числом (значением) λ называется число (комплексное в общем случае), для которого существует ненулевой вектор x (собственный вектор), удовлетворяющий уравнению Ax = λx.

  • Характеристический многочлен: Условие существования ненулевого решения у уравнения (A - λE)x = 0 равносильно равенству нулю определителя: det(A - λE) = 0. Этот определитель является многочленом степени n от λ и называется характеристическим многочленом матрицы A.
  • Собственные числа как корни: Собственные числа матрицы A — это в точности корни её характеристического многочлена. Из основной теоремы алгебры следует, что у матрицы порядка n существует ровно n собственных чисел с учётом их кратности.
  • Поиск собственных векторов: Для каждого найденного собственного числа λ нужно решить однородную систему линейных уравнений (A - λE)x = 0. Ненулевые решения этой системы и будут собственными векторами, соответствующими λ.

Количество линейно независимых собственных векторов, соответствующих одному собственному числу, может быть меньше его кратности.

Свойства собственных векторов

Собственные векторы обладают двумя ключевыми свойствами, важными для их структуры.

  • Произвольность длины: Если x — собственный вектор, соответствующий числу λ, то для любой константы c ≠ 0 вектор cx также является собственным вектором для того же λ.
  • Линейная независимость: Собственные векторы, соответствующие разным собственным числам, линейно независимы. Это доказывается методом от противного с использованием определения.
  • Пространство собственных векторов: Множество всех собственных векторов, соответствующих одному собственному числу λ (включая нулевой вектор), образует линейное подпространство. Любая линейная комбинация собственных векторов для одного λ также будет собственным вектором для этого λ.

Таким образом, собственные векторы для разных значений λ дают набор линейно независимых направлений, связанных с действием матрицы.

Примеры вычисления

Процесс нахождения собственных чисел и векторов иллюстрируется на матрицах 2×2 и 3×3.

  1. Для матрицы 2x2:

    • Составляется характеристический многочлен det(A - λE) = 0 и находятся его корни — собственные числа (например, λ₁=2, λ₂=7).
    • Для каждого λ решается своя система (A - λE)x = 0.
    • Решения дают собственные векторы (например, для λ₁=2 вектор x₁ = [-3; 1]ᵀ, а для λ₂=7 вектор x₂ = [1; 3]ᵀ). Эти векторы линейно независимы.

  2. Для матрицы 3x3 (пример с дефицитом векторов):

    • Может существовать собственное число кратности, например, λ = -1 (кратности 2).
    • Однако при решении системы (A - λE)x = 0 ранг матрицы может оказаться равным 2, что даст лишь одно свободное неизвестное.
    • В итоге этому собственному числу будет соответствовать только один линейно независимый собственный вектор (например, x = [1; 1; 1]ᵀ), а не два.

Это подтверждает, что количество линейно независимых собственных векторов может быть меньше порядка матрицы, особенно в случае кратных собственных чисел.

Итог

Были изучены основы теории многочленов и её приложение к задаче о собственных значениях.

  • Многочлены: Определены операции сложения, умножения и деления с остатком. Сформулирована и использована основная теорема алгебры о числе корней.
  • Собственные значения: Установлено, что собственные числа квадратной матрицы — это корни её характеристического многочлена. Матрица n×n всегда имеет ровно n собственных чисел (с учётом кратности) в комплексной области.
  • Собственные векторы: Для каждого собственного числа векторы находятся из однородной системы уравнений. Их количество может быть меньше кратности числа. Векторы для разных λ линейно независимы.

Таким образом, задача поиска собственных значений сводится к нахождению корней многочлена, а затем — к решению серии линейных систем.