Конспект

YouTube📐 Системы уравнений: основы и примеры

Основные понятия системы уравнений

Система уравнений — это несколько уравнений, которые решаются совместно. Решением является такой набор чисел (значений неизвестных), при подстановке которого каждое уравнение системы превращается в верное числовое равенство.

Обозначения неизвестных

  • Для небольшого числа неизвестных (2-3) традиционно используются последние буквы латинского алфавита: x, y, z.
  • Для задач с большим количеством уравнений и неизвестных (десятки, сотни, тысячи) применяется цифровая индексация: x₁, x₂, x₃, ... xₙ.

В общем виде систему, где количество уравнений совпадает с количеством неизвестных, можно записать как набор функций, равных нулю: f₁(x₁...xₙ)=0, f₂(x₁...xₙ)=0, ..., fₙ(x₁...xₙ)=0.

Равносильные преобразования систем

Для упрощения решения системы можно выполнять следующие преобразования, не меняющие её решений:

  1. Заменять любое уравнение на равносильное ему.
  2. Подставлять выражение для уже найденной неизвестной во все остальные уравнения.
  3. Складывать уравнения системы, предварительно умножая их на любое число, не равное нулю.

Примеры решения систем

Пересечение окружности и прямой

Задача: найти точки пересечения окружности x² + y² = 25 и прямой x - y = 1.

  1. Из линейного уравнения выражаем переменную: y = x - 1.
  2. Подставляем в уравнение окружности: x² + (x - 1)² = 25.
  3. Решаем полученное квадратное уравнение: x² - x - 12 = 0.
  4. Находим корни: x₁ = 4, x₂ = -3.
  5. Определяем соответствующие значения y: y₁ = 3, y₂ = -4.

Ответ: точки пересечения (4; 3) и (-3; -4).

Система с логарифмическим уравнением

Дана система:

  1. log₃(x - 3) + log₃(y + 2) = log₃ 16
  2. 2x - y = 4
  • По свойству логарифмов преобразуем первое уравнение: сумма равна логарифму произведения. Получаем log₃((x - 3)(y + 2)) = log₃ 16, откуда следует (x - 3)(y + 2) = 16.
  • Для удобства вводятся новые переменные: u = x - 3 и v = y + 2. Тогда x = u + 3, y = v - 2.
  • Система принимает вид:
    • u * v = 16
    • 2(u + 3) - (v - 2) = 4, что после упрощения даёт v = 2u + 4.
  • Подставляем v в первое уравнение: u(2u + 4) = 16. Решая квадратное уравнение и учитывая, что по определению логарифма u > 0 и v > 0, находим u = 2.
  • Возвращаемся к исходным переменным: x = u + 3 = 5, y = v - 2 = (2*2 + 4) - 2 = 6.

Ответ: (5; 6).