Конспект

YouTubeДвойной интеграл: определение и вычисление

Определение двойного интеграла

Двойной интеграл является обобщением понятия определённого интеграла на случай функции двух переменных. Его геометрический смысл — вычисление объёма цилиндрического тела, основанием которого является область на плоскости, а верхней "крышкой" — график функции.

Построение интегральной суммы

Для вычисления интеграла по прямоугольной области [a, b] x [c, d] используется подход, аналогичный одномерному случаю:

  • Область разбивается на мелкие прямоугольники произвольным образом.
  • В каждом прямоугольнике выбирается произвольная точка.
  • Строится интегральная сумма: сумма значений функции в выбранных точках, умноженных на площади соответствующих прямоугольников.

Функция называется интегрируемой, если существует предел таких интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю, и этот предел не зависит от способа разбиения и выбора точек.

Этот предел и называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области и обозначается ∬ f(x,y) dS.

Интегрирование по произвольной области

Для интегрирования функции по криволинейной области Ω можно использовать два эквивалентных подхода:

  1. Продолжение нулём. Функция доопределяется нулём вне области Ω на некоторый охватывающий её прямоугольник. Затем интеграл вычисляется по этому прямоугольнику.
  2. Непосредственное разбиение. Область Ω сама разбивается на мелкие ячейки (не обязательно прямоугольные, но имеющие площадь). Интеграл определяется как предел сумм по такому разбиению при измельчении.

Ключевое требование: область Ω должна быть измеримой (иметь площадь). Это выполняется для широкого класса ограниченных областей с кусочно-гладкой границей.

Основные свойства интеграла

Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определённого интеграла:

  • Линейность. Интеграл от линейной комбинации функций равен такой же линейной комбинации интегралов.
  • Аддитивность по области. Если область Ω разбита на две части без общих внутренних точек, то интеграл по всей области равен сумме интегралов по частям.
  • Интегрирование неравенств. Если f(x,y) ≤ g(x,y) во всех точках области, то и интеграл от f не превосходит интеграла от g.
  • Интеграл от неотрицательной функции является неотрицательным числом.

Вычисление двойного интеграла

Сведение к повторному (последовательному) интегралу

Основной практический метод вычисления — сведение двойного интеграла к двум обычным определённым интегралам. Для этого область должна быть элементарной относительно одной из осей.

  • Область, элементарная относительно оси OX: Задаётся неравенствами a ≤ x ≤ b, φ₁(x) ≤ y ≤ φ₂(x). Тогда интеграл вычисляется как:
    ∬ f(x,y) dS = ∫ (от a до b) [ ∫ (от φ₁(x) до φ₂(x)) f(x,y) dy ] dx.
    Сначала вычисляется внутренний интеграл по y (где x считается константой), результат которого является функцией от x, затем интегрируется по x.

  • Область, элементарная относительно оси OY: Задаётся неравенствами c ≤ y ≤ d, ψ₁(y) ≤ x ≤ ψ₂(y). Интеграл сводится к виду:
    ∬ f(x,y) dS = ∫ (от c до d) [ ∫ (от ψ₁(y) до ψ₂(y)) f(x,y) dx ] dy.

Сложные области часто можно разбить на конечное число элементарных.

Замена переменных в двойном интеграле

Это мощный метод упрощения области или подынтегрального выражения. Пусть задано взаимно однозначное отображение (u, v) → (x(u,v), y(u,v)), переводящее область Ω' в плоскости (u, v) в область Ω в плоскости (x, y).

Формула замены переменных: ∬ f(x,y) dxdy = ∬ f(x(u,v), y(u,v)) * |J| dudv,
где J — якобиан преобразования (определитель матрицы из частных производных): J = ∂(x,y)/∂(u,v).

Модуль якобиана |J| характеризует коэффициент искажения площади при данном отображении (растяжение или сжатие). Это прямое обобщение правила dx = φ'(t) dt из одномерного случая.

Пример вычисления площади с помощью двойного интеграла

Площадь плоской области Ω вычисляется как двойной интеграл от функции f(x,y) = 1 по этой области: S(Ω) = ∬ 1 dS.

Пример: Вычисление площади треугольника с вершинами (0,0), (1,0), (0,1), ограниченного прямыми x=0, y=0, x+y=1.

  • Область элементарна относительно обеих осей. Выбираем, например, описание относительно OX: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1-x.
  • Площадь: S = ∫ (0 до 1) [ ∫ (0 до 1-x) 1 dy ] dx = ∫ (0 до 1) (1-x) dx = 1/2.

Этот пример иллюстрирует общую схему: определение интеграла, его свойства и основные методы вычисления (сведение к повторному и замена переменных) образуют фундамент для работы с интегралами от функций многих переменных.