Обратная матрица
После введения операции умножения матриц возникает задача нахождения неизвестного множителя по известному произведению. Аналогично тому, как в алгебре чисел для этого используется умножение на обратное число, в матричной алгебре эту роль выполняет обратная матрица, позволяющая решать матричные уравнения.
- Обратная матрица определяется для квадратных матриц, чей определитель не равен нулю. Такие матрицы называются невырожденными.
- Обозначается обратная матрица к матрице A как A⁻¹.
- Она определяется ключевым соотношением: A · A⁻¹ = A⁻¹ · A = E, где E — единичная матрица.
- Единичная матрица (E) — квадратная матрица того же размера, что и A, с единицами на главной диагонали и нулями на всех остальных позициях.
Метод вычисления обратной матрицы
Для невырожденной квадратной матрицы A обратная матрица A⁻¹ вычисляется по формуле: A⁻¹ = (1 / det A) · A, где A — матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов матрицы A, но расположенных транспонированно.
Алгебраические дополнения к элементам строки матрицы A располагаются в соответствующем столбце матрицы A*.
Это означает, что:
- Алгебраические дополнения элементов первого столбца матрицы A записываются в первую строку матрицы A*.
- Алгебраические дополнения элементов второго столбца A записываются во вторую строку A*, и так далее.
Пример вычисления
Дана матрица A размера 3×3. Алгоритм нахождения A⁻¹:
- Вычислить определитель (det A). Если det A = 0, обратной матрицы не существует.
- Найти матрицу алгебраических дополнений A*:
- Вычислить алгебраическое дополнение для каждого элемента.
- Расположить их транспонированно: дополнения элементов столбцов исходной матрицы записывать в строки новой матрицы.
- Получить обратную матрицу: умножить полученную матрицу A* на число (1 / det A).
После вычислений необходима проверка: умножение исходной матрицы A на найденную A⁻¹ должно дать единичную матрицу E.