Уравнение плоскости по трём точкам

Для однозначного задания плоскости в пространстве достаточно трёх точек, не лежащих на одной прямой. Уравнение такой плоскости можно вывести, используя условие компланарности векторов.

Дано: три точки M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3), не лежащие на одной прямой.
Текущая точка: произвольная точка плоскости M(x, y, z).
Векторы: строятся векторы M1M2, M1M3 и M1M, лежащие в искомой плоскости.

Так как все три вектора компланарны, их смешанное произведение равно нулю. Это условие записывается через определитель, строками которого являются координаты этих векторов.

Общий вид уравнения

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, имеет вид:

| x - x1    y - y1    z - z1 |
| x2 - x1   y2 - y1   z2 - z1 | = 0
| x3 - x1   y3 - y1   z3 - z1 |

Такая форма записи является компактной и удобной для запоминания.

Пример составления уравнения

Задача: составить уравнение плоскости, проходящей через точки:
A(3, -2, 4), B(-1, 3, 2), C(2, 2, 1).

Решение:

Принимаем A за M1(3, -2, 4), B за M2(-1, 3, 2), C за M3(2, 2, 1).

Подставляем координаты в определитель:

| x - 3    y + 2    z - 4 |
|  -4        5        -2   | = 0
|  -1        4        -3   |

Раскрываем определитель (например, по первой строке), вычисляем определители второго порядка, упрощаем выражение.
После арифметических преобразований и деления на -1 для удобства получаем итоговое уравнение:

Итоговое уравнение плоскости: 7x + 10y + 11z - 45 = 0.