Введение в интеграл Римана
На предыдущих лекциях изучался неопределённый интеграл как множество первообразных. Теперь мы переходим к изучению определённого интеграла Римана, который служит для решения задачи вычисления площади криволинейной трапеции.
Мотивация: площадь криволинейной трапеции
Рассматривается ограниченная функция f(x), заданная на отрезке [a, b]. Задача — найти аналитическую формулу для вычисления площади фигуры под графиком этой функции (криволинейной трапеции). Идея приближения состоит в следующем:
- Отрезок [a, b] разбивается на мелкие части точками xᵢ.
- На каждом маленьком отрезке строится прямоугольник. Его высота равна значению функции в некоторой выбранной точке ξᵢ на этом отрезке.
- Площадь всей трапеции приближается суммой площадей всех таких прямоугольников (интегральная сумма Римана).
- Ожидается, что при неограниченном измельчении разбиения (когда максимальная длина отрезков разбиения стремится к нулю) эти суммы будут стремиться к некоторому пределу, который и будет называться площадью.
Определение интеграла Римана
Функция f(x) называется интегрируемой по Риману на отрезке [a, b], если для любой последовательности разбиений этого отрезка, у которых максимальный шаг стремится к нулю, и при любом выборе точек ξᵢ внутри отрезков разбиения, существует один и тот же конечный предел интегральных сумм.
Это определение гарантирует единственность предела, если он существует.
Критерий интегрируемости (Дарбу)
Для работы с определением на практике удобнее использовать критерий, основанный на верхних и нижних суммах Дарбу.
- Верхняя сумма — сумма площадей прямоугольников, построенных по максимальным значениям функции на отрезках разбиения.
- Нижняя сумма — сумма площадей прямоугольников, построенных по минимальным значениям.
- Критерий: функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда при измельчении разбиения разность между верхней и нижней суммами стремится к нулю. Это означает, что приближения площади сверху и снизу дают один и тот же результат.
Свойства интегрируемых функций
- Ограниченность: Интегрируемая по Риману функция на отрезке обязательно является ограниченной. Обратное неверно.
- Влияние точек: Изменение значения функции в конечном числе точек не влияет на её интегрируемость и значение интеграла.
- Классы интегрируемых функций:
- Непрерывные на отрезке функции.
- Ограниченные функции с конечным числом точек разрыва.
- Монотонные ограниченные функции.
Основные свойства определённого интеграла
- Линейность: Интеграл от линейной комбинации интегрируемых функций равен той же линейной комбинации интегралов.
- Аддитивность по отрезку: Если функция интегрируема на [a, b], то для любой точки c ∈ (a, b) она интегрируема на [a, c] и [c, b], и интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям.
- Интегрирование неравенств: Если на отрезке [a, b] выполняется f(x) ≤ g(x), то интеграл от f(x) не превосходит интеграла от g(x).
- Интегрируемость модуля: Из интегрируемости функции следует интегрируемость её модуля. Обратное неверно.
- Теорема о среднем: Если функция f(x) непрерывна на [a, b], то существует точка c ∈ [a, b] такая, что интеграл равен значению функции в этой точке, умноженному на длину отрезка.
Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница
Рассмотрим функцию F(x), заданную как интеграл с переменным верхним пределом:
F(x) = ∫[a, x] f(t) dt
- Если f(t) интегрируема на [a, b], то F(x) непрерывна на этом отрезке.
- Если f(t) непрерывна в точке x₀, то F(x) дифференцируема в этой точке и F'(x₀) = f(x₀).
- Формула Ньютона-Лейбница: Если F(x) — какая-либо первообразная для непрерывной функции f(x) на [a, b], то определённый интеграл вычисляется как разность значений первообразной на концах отрезка:
∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)
Эта формула сводит вычисление определённого интеграла к нахождению первообразной.
Методы вычисления определённых интегралов
Основные приёмы, которые можно применять непосредственно к определённому интегралу, минуя явное нахождение первообразной в общем виде:
Интегрирование по частям:
∫[a, b] u(x) dv(x) = u(x)v(x) |[a, b] - ∫[a, b] v(x) du(x)
Формула применяется при условии существования соответствующих производных и интегралов.Замена переменной:
∫[a, b] f(x) dx = ∫[α, β] f(φ(t)) φ'(t) dt, где x = φ(t)
Для корректности замены требуется, чтобы функция φ(t) была монотонной и непрерывно дифференцируемой на отрезке [α, β], причём φ(α)=a, φ(β)=b.
Использование этих приёмов непосредственно для определённого интеграла часто упрощает вычисления, позволяя работать только с числами на конкретных пределах.