Основные формулы для треугольника
Рассматривается произвольный треугольник ABC со сторонами a, b, c и высотой h, опущенной на сторону a. Для решения задач с использованием тригонометрических функций применяются ключевые формулы.
- Площадь треугольника: Может быть вычислена как половина произведения стороны на высоту: S = 1/2 * a * h. Через тригонометрию площадь также выражается как S = 1/2 * a * b * sin C (и аналогично для других сторон и углов).
- Теорема косинусов: Позволяет найти сторону треугольника по двум другим сторонам и углу между ними. Например, для стороны c: c² = a² + b² - 2ab * cos C.
- Теорема синусов: Устанавливает соотношение между сторонами треугольника и синусами противолежащих углов: a / sin A = b / sin B = c / sin C.
Эти формулы являются базовым инструментарием для вычисления длин и углов в треугольниках.
Нахождение углов по трём сторонам
Если известны все три стороны треугольника (a, b, c), величина угла, например C, находится непосредственно с помощью теоремы косинусов.
Из формулы c² = a² + b² - 2ab * cos C выражается косинус угла:
cos C = (a² + b² - c²) / (2ab)
Сам угол C вычисляется как арккосинус от полученного выражения: C = arccos((a² + b² - c²) / (2ab)).
Вычисление длины медианы
В треугольнике ABC из вершины A к стороне BC проведена медиана mₐ. Она образует со стороной BC два смежных угла: α и β (α + β = 180°). Длина медианы находится с помощью двукратного применения теоремы косинусов.
Рассматриваются два треугольника, образованных медианой: ABD и ACD, где D — середина BC (BD = DC = a/2).
- Для ΔABD: c² = (a/2)² + mₐ² - 2(a/2)mₐ * cos α
- Для ΔACD: b² = (a/2)² + mₐ² - 2(a/2)mₐ * cos β. Учитывая, что cos β = -cos α, формула преобразуется: b² = (a/2)² + mₐ² + 2(a/2)mₐ * cos α
Сложив эти два равенства, получаем выражение для квадрата медианы:
b² + c² = 2(a/2)² + 2mₐ²
Отсюда длина медианы вычисляется по формуле:
mₐ² = (b² + c² - a²/2) / 2
Вычисление длины биссектрисы
В треугольнике ABC из вершины A проведена биссектриса lₐ. Её длина выводится из свойства сложения площадей.
Биссектриса делит угол A пополам. Площадь всего треугольника ABC равна сумме площадей двух образовавшихся треугольников ABD и ADC.
- Площадь ΔABC: S = (1/2) * b * c * sin A
- Площадь ΔABD: S₁ = (1/2) * c * lₐ * sin(A/2)
- Площадь ΔADC: S₂ = (1/2) * b * lₐ * sin(A/2)
Складывая S₁ и S₂ и приравнивая к S, получаем:
(1/2) * b * c * sin A = (1/2) * sin(A/2) * lₐ * (b + c)
Окончательная формула для длины биссектрисы:
lₐ = (b * c * sin A) / ((b + c) * sin(A/2))