Классификация точек разрыва функции

Анализ поведения функции в точке сводится к исследованию её пределов слева и справа. Существование и равенство этих односторонних пределов определяет тип разрыва.

Конечные односторонние пределы

Если в точке существуют конечные односторонние пределы, возможны два случая:

Пределы равны. В этом случае существует общий конечный предел. Если значение функции в точке равно этому пределу, функция непрерывна. Если не равно или функция не определена в точке — это устранимый разрыв (разрыв "первого рода").
Пределы не равны. Существуют оба конечных предела, но их значения различны. Это приводит к конечному скачку — также разрыв первого рода.

Если у функции в точке существует конечный предел (общий или односторонний), то найдётся такая окрестность этой точки, в которой функция ограничена.

Бесконечные и несуществующие пределы

Ситуация меняется, если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует.

Бесконечные пределы. Если функция стремится к бесконечности при приближении к точке хотя бы с одной стороны (например, 1/x при x→0+), это разрыв второго рода.
Несуществующие пределы. Если предел не существует в конечном смысле (например, из-за бесконечных колебаний, как у sin(1/x) при x→0), это также классифицируется как разрыв второго рода.

Таким образом, ключевым критерием является поведение односторонних пределов: их конечность и равенство между собой определяют тип разрыва функции в точке.