Конспект

Числовая прямая и топология

Мы переходим от рассмотрения действительных чисел к изучению числовой прямой и её топологических свойств. Это позволяет вместо сравнений "больше-меньше" использовать геометрические понятия, такие как окрестности и открытые множества, что является основой для анализа.

Промежутки на числовой прямой

На числовой прямой, где между точками и числами существует взаимно однозначное соответствие, рассматриваются различные типы промежутков.

• Интервал (открытый промежуток): множество чисел x, таких что a < x < b. Обозначается (a, b). Граничные точки a и b не включаются.
• Отрезок (сегмент): множество чисел x, таких что a ≤ x ≤ b. Обозначается [a, b]. Включает обе граничные точки.
• Окрестность точки: любой интервал, содержащий данную точку x. Чаще всего используется симметричная окрестность вида (x - ε, x + ε), обозначаемая U(x) или O(x).

Любой интервал, который содержит точку x, называется его окрестностью.

Открытые и замкнутые множества

Ключевое понятие топологии числовой прямой — открытое множество. Множество называется открытым, если каждая его точка является внутренней. Это означает, что для любой точки x из множества найдётся целая её окрестность, которая также полностью содержится в этом множестве.

• Пример открытого множества: любой интервал (a, b).
• Пример неоткрытого множества: отрезок [a, b] (граничные точки не являются внутренними).
• Свойства открытых множеств:
  • Объединение любого количества открытых множеств является открытым множеством.
  • Пересечение конечного числа открытых множеств является открытым множеством. Для бесконечного числа пересечений это свойство не выполняется.

Замкнутое множество можно определить как множество, дополнение до которого является открытым. Например, отрезок [a, b] замкнут, так как его дополнение (-∞, a) ∪ (b, +∞) — открытое множество.

Предельные точки и замыкание

Понятие предельной точки является мостом между топологией и теорией пределов.

• Предельная точка множества: точка x₀ называется предельной точкой множества A, если любая проколотая окрестность этой точки содержит хотя бы одну точку из A. Проколотая окрестность — это окрестность без самой точки x₀.
• Внутренние точки открытого множества являются его предельными точками. Однако предельная точка может и не принадлежать самому множеству (например, граничная точка отрезка).
• Замыкание множества: множество, полученное присоединением к исходному множеству всех его предельных точек.

Расширенная числовая прямая

Для удобства в анализе используется расширенная числовая прямая, которая включает два несобственных символа: +∞ (плюс бесконечность) и -∞ (минус бесконечность).

• Окрестность +∞: множество всех чисел x, больших некоторого (сколь угодно большого) числа M. Обозначается (M, +∞).
• Окрестность -∞: множество всех чисел x, меньших некоторого (сколь угодно малого) числа m. Обозначается (-∞, m).

Введение этих понятий и символов необходимо для корректного讨论 пределов последовательностей и функций, стремящихся к бесконечности.