📊 Разбор МЦКО по математике для 10 класса

Разбор МЦКО по математике (углублённый уровень)

Ключевые тезисы:

МЦКО — московский аналог Всероссийской проверочной работы (ВПР).
В 10-м классе проводится обязательная проверочная работа по алгебре, геометрии и теории вероятностей.
В разборе рассматриваются задания углублённого уровня, хотя по геометрии и теории вероятностей варианты для базового и углублённого уровней были идентичны.
Задания МЦКО значительно проще, чем задачи профильного ЕГЭ, и требуют основательной подготовки для высоких баллов на госэкзамене.

Общая информация о МЦКО

Что это? Московская проверочная работа, аналог ВПР для столичных школ.
Кто пишет? Учащиеся 10-х классов в обязательном порядке.
Структура работы: Алгебра, геометрия, теория вероятностей.
Уровень сложности: Задания базового уровня, существенно проще профильного ЕГЭ.

Разбор заданий по алгебре

Задача 1: Проценты и доли

Условие: В фирме 40% сотрудников не знают иностранных языков. Шестая часть тех, кто знает хотя бы один язык, владеет английским. Сколько процентов сотрудников знает английский?

Решение: Знает хотя бы один язык: 100% - 40% = 60%. Шестая часть от них: 60% / 6 = 10%.
Ответ: 10%.

Задача 2: Преобразование степенных выражений

Условие: Упростить выражение: ( \frac{4^{3\frac{5}{6}}}{(0.5)^{\frac{2}{3}} \cdot 5} ).

Решение:
1. (4 = 2^2).
2. (3\frac{5}{6} = \frac{23}{6}).
3. (0.5 = 2^{-1}).
4. Преобразуем: ( \frac{2^{\frac{23}{3}}}{2^{-\frac{2}{3}} \cdot 5} = \frac{2^{\frac{23}{3} - (-\frac{2}{3})}}{5} = \frac{2^{\frac{25}{3}}}{5} ). (В эфире была допущена ошибка в вычислении показателя, итоговый результат должен быть другим).
Важно: Аккуратная работа со свойствами степеней.

Задача 3: Тригонометрическое выражение

Условие: Вычислить (26 \cos(-\frac{19\pi}{12}) \cdot \sin\frac{19\pi}{12}).

Решение:
1. Косинус — чётная функция: (\cos(-x) = \cos x).
2. Замечаем формулу синуса двойного угла: (2\sin\alpha\cos\alpha = \sin2\alpha).
3. Получаем: (13 \cdot \sin(\frac{19\pi}{6})).
4. Упрощаем угол: (\frac{19\pi}{6} - 2\pi = \frac{7\pi}{6}).
5. (\sin\frac{7\pi}{6} = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}).
6. Итог: (13 \cdot (-\frac{1}{2}) = -6.5).
Ответ: -6.5.

Задача 4: Геометрическая прогрессия

Условие: Дана бесконечно убывающая прогрессия: (b_1=18, b_2=6, b_3=2). Найти её сумму.

Решение:
1. Знаменатель: (q = b_2 / b_1 = 6/18 = 1/3).
2. Формула суммы: (S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{18}{1 - 1/3} = \frac{18}{2/3} = 27).
Ответ: 27. (Член (b_3) дан избыточно).

Задача 5: Графики функций

Условие: Графики (f(x)=a\sqrt{x}) и (g(x)=kx) пересекаются в точке A, отличной от начала координат. По графику известны точки (4;3) для (f(x)) и (6;2) для (g(x)). Найти абсциссу точки A.

Решение:
1. Находим параметры: (3 = a\sqrt{4} \Rightarrow a=1.5). (2 = k\cdot6 \Rightarrow k=1/3).
2. Решаем уравнение: (1.5\sqrt{x} = \frac{1}{3}x).
3. Получаем: (\sqrt{x}(9 - 2\sqrt{x})=0). Отсюда (\sqrt{x} = 9/2).
4. (x = 81/4 = 20.25).
Ответ: 20.25.

Задача 6: Тригонометрия (нахождение тангенса)

Условие: (\cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{10}, \alpha \in (\pi; 2\pi)). Найти (\tg\alpha).

Решение:
1. Косинус положителен → угол в IV четверти → синус отрицателен.
2. (\sin\alpha = -\sqrt{1 - \cos^2\alpha} = -\sqrt{1 - \frac{2}{100}} = -\frac{7\sqrt{2}}{10}).
3. (\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{-\frac{7\sqrt{2}}{10}}{\frac{\sqrt{2}}{10}} = -7).
Ответ: -7.

Задача 7: Тригонометрическое уравнение

Условие: Решить уравнение: ((3\sin^2x - \cos^2x) \cdot \frac{\sin2x}{\sqrt{3} + \cos x} = 0) на отрезке ([-5\pi/4; \pi/4]) и указать количество корней.

Решение:
1. Произведение равно нулю, когда любой множитель равен нулю. Решаем два случая отдельно (во избежание проблем при проверке).
2. Случай 1: (3\sin^2x - \cos^2x = 0). Делим на (\cos^2x): (3\tg^2x = 1 \Rightarrow \tg x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n).
3. Случай 2: (\frac{\sin2x}{\sqrt{3}+\cos x}=0 \Rightarrow \sin2x=0) (знаменатель не ноль) ИЛИ (\sqrt{3}+\cos x=0).
  - (\sin2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}).
  - (\cos x = -\sqrt{3}) — решений нет.
4. Отбор корней на отрезке ([-5\pi/4; \pi/4]): Удобно использовать единичную окружность. На заданном отрезке лежит 7 корней.
Ответ: 7.

Задача 8: Неравенство

Условие: Решить неравенство: (\frac{2x^2 - 9x - 95}{\sqrt{25-2x}} \le 0). В ответ записать наибольшее целое решение, принадлежащее отрезку ([-100; 100]).

Решение:
1. ОДЗ: (25 - 2x > 0 \Rightarrow x < 12.5).
2. Знаменатель ((\sqrt{})) всегда положителен при ОДЗ, значит, знак дроби определяется числителем: (2x^2 - 9x - 95 \le 0).
3. Решаем квадратное уравнение: (2x^2 - 9x - 95 = 0). Дискриминант (D=841=29^2). Корни: (x_1 = -5, x_2 = 9.5).
4. Решение неравенства: (x \in [-5; 9.5]).
5. Учитываем ОДЗ ((x < 12.5)): итоговое решение (x \in [-5; 9.5]).
6. Наибольшее целое решение на ([-100; 100]) — 9.
Ответ: 9.

Задача 9: Параметр (система уравнений)

Условие: Найти все значения параметра (a), при которых система имеет хотя бы одно решение:
(\begin{cases} (x+a)^2 - y^2 = 0 \ (x-3)^2 = 4 - y^2 \end{cases})

Решение (графический метод):
1. Первое уравнение: ((x+a - y)(x+a + y)=0 \Rightarrow y = x+a) или (y = -x-a) (две прямые).
2. Второе уравнение: ((x-3)^2 + y^2 = 4) (окружность с центром (3;0) и радиусом 2).
3. Задача сводится к нахождению (a), при которых хотя бы одна из двух параллельных прямых

Ваш конспект