Уравнение плоскости в пространстве
Плоскость в пространстве задаётся с помощью нормального вектора (нормали) — вектора, перпендикулярного плоскости. Уравнение выводится для плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной данному вектору.
- Нормальный вектор N: имеет координаты (A, B, C).
- Заданная точка M₀: лежит на плоскости, её координаты (x₀, y₀, z₀).
- Условие для любой точки M(x, y, z) плоскости: вектор M₀M должен быть перпендикулярен нормали N, что означает равенство нулю их скалярного произведения.
Скалярное произведение векторов N и M₀M равно нулю: A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0.
Это уравнение, после раскрытия скобок и объединения постоянных членов в коэффициент D, принимает вид общего уравнения плоскости.
Общее уравнение плоскости
Общее уравнение плоскости — это линейное уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0, где (A, B, C) — координаты нормального вектора.
Частные случаи расположения плоскости
Расположение плоскости в пространстве зависит от значений коэффициентов её общего уравнения.
Если D = 0:
Уравнение имеет вид Ax + By + Cz = 0. Такая плоскость обязательно проходит через начало координат (0, 0, 0).
Если один из коэффициентов при переменных равен нулю:
Плоскость параллельна соответствующей оси координат.
- A = 0: плоскость параллельна оси Ox.
- B = 0: плоскость параллельна оси Oy.
- C = 0: плоскость параллельна оси Oz.
Если два коэффициента при переменных равны нулю:
Плоскость параллельна целой координатной плоскости.
- A = 0, B = 0: уравнение Cz + D = 0 описывает плоскость, параллельную плоскости xOy.
- A = 0, C = 0: уравнение By + D = 0 описывает плоскость, параллельную плоскости xOz.
- B = 0, C = 0: уравнение Ax + D = 0 описывает плоскость, параллельную плоскости yOz.
Пример составления уравнения плоскости
Для составления уравнения плоскости необходимы координаты нормального вектора и одной точки на плоскости.
Условие: Плоскость проходит через точки M₁(2, -1, 3) и M₂(3, 2, 4) и параллельна вектору a(-2, 5, 1).
Решение:
- Находим вектор M₁M₂ = (3-2, 2-(-1), 4-3) = (1, 3, 1).
- Так как искомая плоскость параллельна вектору a, а вектор M₁M₂ лежит в ней, то нормальный вектор N можно найти как векторное произведение этих двух векторов: N = [a × M₁M₂].
- Вычисляя определитель, находим координаты нормали: N = (2, 3, -11).
- Подставляем координаты нормали (A=2, B=3, C=-11) и координаты точки M₁ (x₀=2, y₀=-1, z₀=3) в уравнение: 2(x - 2) + 3(y + 1) - 11(z - 3) = 0.
- После преобразований получаем искомое общее уравнение: 2x + 3y - 11z + 32 = 0.