Разложение рациональной дроби на простейшие
Правильная рациональная дробь — это отношение двух многочленов P(x) / Q(x), где степень числителя N меньше степени знаменателя M. Цель — представить её в виде суммы более простых дробей, вид которых определяется разложением знаменателя Q(x) на множители.
Виды простейших дробей
Вид простейших дробей в разложении зависит от вида сомножителей в знаменателе Q(x):
- Для линейного множителя (x - A) в степени K: в разложение добавляется K слагаемых вида A₁/(x - A) + A₂/(x - A)² + ... + Aₖ/(x - A)ᵏ.
- Для неприводимого квадратного трёхчлена (x² + px + q) в степени i (с дискриминантом < 0): в разложение добавляется i слагаемых вида (M₁x + N₁)/(x² + px + q) + ... + (Mᵢx + Nᵢ)/(x² + px + q)ⁱ.
Вид сомножителей определяет вид простейших дробей, на которые раскладывается исходная рациональная дробь.
Составление макета разложения (примеры)
Перед нахождением коэффициентов составляется структурный макет суммы простейших дробей.
- Пример 1: Знаменатель содержит (x + 3)¹ и (x - 5)³.
Макет: A₁/(x + 3) + B₁/(x - 5) + B₂/(x - 5)² + B₃/(x - 5)³. - Пример 2: Знаменатель содержит (x - 4)¹ и (x² + x + 1)¹.
Макет: A₁/(x - 4) + (B₁x + C₁)/(x² + x + 1). - Пример 3: Знаменатель содержит (x² + 1)¹ и (x² + 1)².
Макет: (A₁x + B₁)/(x² + 1) + (A₂x + B₂)/(x² + 1)².
Метод нахождения коэффициентов
После составления макета и приведения к общему знаменателю, неизвестные коэффициенты находятся из равенства числителей исходной дроби и полученной суммы. Эффективным способом является метод частных значений.
Алгоритм на примере: (3x² - 5x + 4) / ((x - 3)(x + 1)²)
- Составляем макет: A/(x - 3) + B/(x + 1) + C/(x + 1)².
- Приводим к общему знаменателю и приравниваем числители.
- Подставляем "удобные" значения x:
- При x = -1: обнуляются слагаемые с A и B, сразу находим C = -3.
- При x = 3: обнуляются слагаемые с B и C, находим A = 1.
- Подставляем любое другое значение (например, x = 0) и уже известные A и C, чтобы найти оставшийся коэффициент B = 2.
Итоговый результат
Окончательное разложение исходной дроби после подстановки найденных коэффициентов:
1/(x - 3) + 2/(x + 1) - 3/(x + 1)².