Конспект

Знакопеременные ряды

Ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, причём и тех, и других бесконечно много. Их сходимость исследуется сложнее, чем у рядов с положительными членами, где последовательность частичных сумм монотонно возрастала.

Признак Лейбница для знакочередующихся рядов

Знакочередующийся ряд — частный и важный класс знакопеременных рядов, где знаки строго чередуются. Его общий вид: a₁ - a₂ + a₃ - a₄ + ..., где aₙ > 0.

Ряд сходится по признаку Лейбница, если выполняются два условия:

1. Последовательность {aₙ} монотонно убывает: aₙ ≥ aₙ₊₁.
2. Предел общего члена равен нулю: lim aₙ = 0.

Идея доказательства: частичные суммы с чётным номером S₂ₖ образуют возрастающую ограниченную последовательность, а с нечётным S₂ₖ₊₁ — убывающую ограниченную. Поскольку разность между ними стремится к нулю, они имеют общий предел.

Пример исследования по признаку Лейбница

Рассмотрим ряд: ∑ (-1)ⁿ / √n. Здесь aₙ = 1/√n.

• Условие lim aₙ = 0 выполняется.
• Монотонность aₙ ≥ aₙ₊₁ проверяется через функцию f(x)=1/√x. Её производная f'(x) = -1/(2√x³) < 0 при x>0, значит, функция убывает, и последовательность aₙ тоже убывает.

Оба условия признака Лейбница выполнены, следовательно, ряд сходится.

Абсолютная и условная сходимость

Для знакопеременного ряда ∑ uₙ вводится два ключевых понятия:

• Абсолютно сходящийся ряд: если сходится ряд из модулей ∑ |uₙ|.
• Условно сходящийся ряд: если сам ряд ∑ uₙ сходится, но ряд из модулей ∑ |uₙ| расходится.

Из абсолютной сходимости всегда следует обычная сходимость. Обратное неверно.

Примеры

• Ряд ∑ (-1)ⁿ / n² сходится абсолютно, так как сходится ряд ∑ 1/n².
• Знакочередующийся гармонический ряд ∑ (-1)ⁿ⁺¹ / n сходится условно (по признаку Лейбница), но ряд из модулей ∑ 1/n (гармонический) расходится.

Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов

Главное отличие — поведение при перестановке членов.

Абсолютно сходящиеся ряды ведут себя «благородно», как конечные суммы:

• При любой перестановке членов ряд остаётся сходящимся, и его сумма не меняется.

Условно сходящиеся ряды обладают удивительным свойством (теорема Римана):

• Для любого наперёд заданного числа S (или даже ±∞) можно так переставить члены условно сходящегося ряда, что сумма нового ряда будет равна S.

Идея доказательства: положительные и отрицательные члены ряда в отдельности образуют расходящиеся ряды (их суммы равны +∞ и -∞). Чтобы получить сумму S, можно сначала брать подряд положительные члены, пока частичная сумма не превысит S, затем добавлять отрицательные, пока сумма не станет меньше S, и так далее.

Таким образом, с абсолютно сходящимися рядами можно работать свободно, а с условно сходящимися — крайне осторожно, только в том порядке, в котором они даны.