Конспект

Определение окружности

Окружность — это множество всех точек плоскости, находящихся на постоянном расстоянии от заданной точки. Эта точка называется центром окружности, а постоянное расстояние — радиусом.

Уравнение окружности

Если в прямоугольной системе координат центр окружности C имеет координаты (A, B), а радиус равен R, то уравнение окружности имеет вид:

(x - A)² + (y - B)² = R²

Здесь x и y — координаты любой точки M, принадлежащей окружности. Если центр окружности совпадает с началом координат (0, 0), уравнение упрощается до x² + y² = R².

Пример: составление уравнения по диаметру

Даны точки A(4, 2) и B(12, 8), отрезок AB — диаметр искомой окружности.

Алгоритм решения:

1. Найти центр окружности — середину отрезка AB:
   • A = (4 + 12) / 2 = 8
   • B = (2 + 8) / 2 = 5
   • Центр: C(8, 5)
2. Найти радиус R как половину длины отрезка AB (или расстояние от центра до любой точки A или B):
   • R = √((12-4)² + (8-2)²) / 2 = √(64 + 36) / 2 = 10 / 2 = 5
3. Подставить найденные значения A, B и R в общее уравнение:
   • (x - 8)² + (y - 5)² = 25

Каноническая форма уравнения (x - A)² + (y - B)² = R² наиболее удобна для анализа и построения, так как явно содержит координаты центра и радиус.

Обратная задача: нахождение центра и радиуса по общему уравнению

Дано уравнение окружности в развернутой форме: x² + y² - 10x + 6y + 18 = 0.

Алгоритм приведения к каноническому виду:

1. Сгруппировать члены с x и y: (x² - 10x) + (y² + 6y) = -18
2. Дополнить каждую группу до полного квадрата, прибавляя и вычитая нужные константы:
   • x² - 10x → (x² - 10x + 25) - 25
   • y² + 6y → (y² + 6y + 9) - 9
3. Подставить в уравнение и перенести числа в правую часть:
   • (x - 5)² - 25 + (y + 3)² - 9 = -18
   • (x - 5)² + (y + 3)² = 16
4. Из полученного канонического уравнения сразу определяем параметры:
   • Центр: C(5, -3)
   • Радиус: R = √16 = 4