Конспект

YouTubeМатричный метод решения систем уравнений

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Метод основан на использовании обратной матрицы для нахождения решения системы. Он применим к системам, где число уравнений равно числу неизвестных, а матрица коэффициентов является невырожденной.

Основные понятия и матричная запись системы

Для системы трёх уравнений с тремя неизвестными (x₁, x₂, x₃) вводятся три матрицы:

  • Матрица коэффициентов (A) — квадратная матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных. Для применения метода её определитель должен быть отличен от нуля (матрица невырожденная).
  • Вектор-столбец неизвестных (X) — столбец, элементы которого (x₁, x₂, x₃) и являются искомым решением.
  • Вектор-столбец свободных членов (B) — столбец чисел, стоящих в правых частях уравнений системы.

Исходная система линейных уравнений эквивалентна одному матричному уравнению:

A · X = B

Вывод формулы решения

Решение матричного уравнения A · X = B находится путём умножения обеих его частей слева на матрицу, обратную к матрице A (обозначается A⁻¹).

  1. Умножаем уравнение на A⁻¹: A⁻¹ · (A · X) = A⁻¹ · B.
  2. Используем свойство ассоциативности: (A⁻¹ · A) · X = A⁻¹ · B.
  3. По определению обратной матрицы: A⁻¹ · A = E, где E — единичная матрица.
  4. Умножение на единичную матрицу не меняет вектор: E · X = A⁻¹ · B.
  5. Получаем итоговую формулу: X = A⁻¹ · B.

Таким образом, решение системы — это элементы вектора X, полученного умножением обратной матрицы к матрице коэффициентов на вектор свободных членов.

Алгоритм решения и пример

Порядок действий для решения системы матричным методом:

  1. Записать матрицу коэффициентов A, вектор неизвестных X и вектор свободных членов B.
  2. Убедиться, что матрица A — невырожденная, вычислив её определитель (det A ≠ 0).
  3. Найти матрицу, обратную к A (A⁻¹). Для этого:
    • Вычислить алгебраические дополнения для всех элементов матрицы A.
    • Составить из них присоединённую матрицу (транспонированную матрицу алгебраических дополнений).
    • Умножить присоединённую матрицу на число, обратное определителю (1/det A).
  4. Умножить найденную обратную матрицу A⁻¹ на вектор B.
  5. Результат умножения — вектор-столбец X — даст значения искомых неизвестных.
  6. Рекомендуется выполнить проверку, подставив найденное решение в исходную систему.

В рассмотренном примере после выполнения всех шагов было получено решение: x = -2, y = 3, z = -4.