Конспект

Введение в полярную систему координат

Прямоугольная декартова система координат устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и парами чисел. Однако для решения ряда задач более эффективной может оказаться полярная система координат.

Определение полярной системы координат

Для построения системы задаются:

• Полярная ось — луч oe с началом в точке O.
• Полюс — точка O, начало системы.
• Масштабная единица — для измерения длин.

Положение произвольной точки M на плоскости задаётся двумя числами — полярными координатами:

• Полярный радиус (ρ) — расстояние от полюса O до точки M. Это неотрицательное число: ρ ≥ 0.
• Полярный угол (φ) — угол, на который нужно повернуть полярную ось против часовой стрелки до совмещения с отрезком OM. Обычно изменяется в пределах 0 ≤ φ < 2π.

Полярные координаты определяют единственную точку на плоскости, и каждой точке плоскости (кроме полюса) соответствует единственная пара чисел (ρ, φ).

Исключение: Для полюса O координата ρ = 0, а угол φ не определён (может принимать любое значение).

Пример построения точки

Задача: Построить точку M с полярными координатами (4, 3π/4).

1. От полярной оси откладываем полярный угол φ = 3π/4 (135°).
2. На полученном луче от полюса откладываем расстояние, равное полярному радиусу ρ = 4.

Связь полярных и декартовых координат

Если начало декартовой системы совпадает с полюсом, а положительная полуось Ox — с полярной осью, то справедливы формулы перехода.

От полярных к декартовым:

• x = ρ * cos(φ)
• y = ρ * sin(φ)

От декартовых к полярным:

• ρ = √(x² + y²) (по теореме Пифагора)
• tan(φ) = y / x

При нахождении полярного угла φ по формуле tan(φ) = y/x необходимо учитывать четверть, в которой расположена точка, чтобы выбрать верное значение угла.

Пример пересчёта координат

Задача: Найти полярные координаты точки M с декартовыми координатами (2, -2√3).

1. Полярный радиус: ρ = √(2² + (-2√3)²) = √(4 + 12) = √16 = 4.
2. Полярный угол: tan(φ) = y/x = (-2√3) / 2 = -√3.
   • Так как точка (2, -2√3) лежит в IV четверти, то φ = 2π - arctan(√3) = 2π - π/3 = 5π/3.

Ответ: Полярные координаты точки M — (4, 5π/3).