Ваш конспект

Разбор пробника ОГЭ по математике

Ключевые тезисы

• Пробник содержит задания из банка ФИПИ, но некоторые формулировки могут быть старыми
• Первая часть в целом стандартная, но шины вызывают сложности
• Вторая часть сложная: неравенство, текстовые задачи, графики с модулем и сложная геометрия
• Все задания можно освоить на бесплатном премарафоне
• Важно правильно оформлять решения во второй части для получения баллов

Шины (задания 1-5)

Нюанс формулировки

• В пробнике дана старая формулировка задачи о шинах
• В банке ФИПИ обновлённая формулировка: параметр H вычисляется как первое число × второе число / 100
• На экзамене может быть любая формулировка, поэтому лучше знать обновлённую

Решение задач

1. Наименьшая ширина для диска 19 дюймов — 225 мм
2. Высота боковины для маркировки 225/60 R18: 225 × 0,60 = 135 мм
3. Диаметр колеса с заводской маркировкой:
   • Диск: 18 × 25,4 = 457,2 мм
   • Диаметр колеса = диаметр диска + 2 × H = 457,2 + 270 = 727,2 мм
4. Уменьшение диаметра при замене шин:
   • Новые шины: 235/45 R20
   • Диск: 20 × 25,4 = 508 мм
   • H = 235 × 0,45 = 105,75 мм
   • Новый диаметр = 508 + 2 × 105,75 = 719,5 мм
   • Уменьшение = 727,2 − 719,5 = 8 мм
5. Уменьшение пробега:
   • Радиус нового колеса = 359,6 мм
   • Радиус заводского = 363,6 мм
   • Пробег нового = (359,6 / 363,6) × 100% ≈ 98,9%
   • Уменьшение = 100% − 98,9% = 1,1%

Важно: если используете данные из предыдущих задач, обязательно пересчитывайте их!

Первая часть (задания 6-19)

Задания базового уровня

• №6: Сравнение √45 с √36 и √49 → точка B
• №7: Упрощение степеней: (a⁵)⁻³ / a⁻¹⁹ = a⁻¹⁵⁺¹⁹ = a⁴ → 3⁴ = 81
• №8: Решение уравнения 5x² − 35x = 0 → x(5x − 35) = 0 → x = 0 или x = 7 → меньший корень 0
• №9: Вероятность выбора мальчика: 12/20 = 0,6
• №11: Определение коэффициентов параболы:
  • a > 0 если ветви вверх, < 0 если вниз
  • c > 0 если пересечение с осью Y выше нуля, < 0 если ниже
• №12: Площадь ромба через диагонали: S = (d₁ × d₂ × sinα) / 2 → d₁ = 4
• №13: Решение системы неравенств → x ∈ [−7,4; −5]
• №14: Змейка (ломанная) — задание не из банка ФИПИ, но встречается в пробниках
  • Длина ломанной = 2 × (1+2+...+130) = 2 × 131 × 65 = 17 030
• №15: Средняя линия треугольника MN = AC / 2 = 36
• №16: Длина большей дуги AB: центральный угол 240° → дуга в 2 раза больше меньшей → 134
• №17: Ромб ABCD: ∠ABC = 48° → ∠ACD = (180° − 48°) / 2 = 66°
• №18: Площадь трапеции: (5+9)/2 × 2 = 14
• №19: Выбор верного утверждения:
  • Все квадраты имеют равные площади — ложь
  • Основания равнобедренной трапеции равны — ложь (равны боковые стороны)
  • Через точку вне окружности можно провести две касательные — истина

Вторая часть (задания 20-25)

Неравенство (№20)

Правильное оформление

1. Перенести всё в одну сторону: (x − 4)² − √6(x − 4) < 0
2. Ввести функцию: y = (x − 4)² − √6(x − 4)
3. Найти нули функции: вынести (x − 4) → (x − 4)(x − 4 − √6) = 0 → x = 4 или x = 4 + √6
4. Нанести точки на ось (незакрашенные)
5. Определить знаки на промежутках:
   • Правый промежуток (например, x=100) → положительный
   • Средний промежуток (например, x=5) → отрицательный
   • Левый промежуток (например, x=0) → положительный
6. Ответ: x ∈ (4; 4 + √6)

Текстовые задачи (№21)

Круговая трасса

• Скорость первого бегуна: x км/ч
• Скорость второго: x + 5 км/ч
• Первый за час прошёл x км, осталось 2 км → длина круга = x + 2
• Второй прошёл круг за 51 минуту (1 час − 9 минут) → длина круга = (x+5) × 17/20
• Уравнение: x + 2 = (x+5) × 17/20 → x = 15 км/ч

Геометрия (№23)

Подобие треугольников

• Четырёхугольник BKPC вписан в окружность → ∠KPC = 180° − ∠ABC
• ∠APK смежный с ∠KPC → ∠APK = ∠ABC
• Треугольники △APK и △ABC подобны по двум углам
• Из подобия: AK / AC = KP / BC → KP = 5

Геометрия (№24)

Равенство отрезков в параллелограмме

• Рассмотреть треугольники △AEO и △OCF
• ∠1 = ∠2 (накрестлежащие при параллельных AB и CD)
• ∠3 = ∠4 (вертикальные)
• AO = OC (диагонали параллелограмма делятся пополам)
• Треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам → AE = CF

Графики с модулем (№22)

Построение графика

1. При x ≥ 0: y = (4x − 1) / (x − 4x²) → после упрощения y = −1/x (гипербола)
   • Ограничения: x ≠ 0, x ≠ 1/4
   • Выколотая точка: (1/4; −4)
2. При x < 0: y = (−4x − 1) / (−x − 4x²) → после упрощения y = 1/x (гипербола)
   • Ограничения: x ≠ 0, x ≠ −1/4
   • Выколотая точка: (−1/4; −4)
3. График состоит из двух ветвей гиперболы

Общие точки с y = kx

• Прямые, не имеющие общих точек:
  • y = 0 (ось X)
  • Прямые, проходящие через выколотые точки:
    • Для (1/4; −4): k = −16 → y = −16x
    • Для (−1/4; −4): k = 16 → y = 16x
• Ответ: k = 0, −16, 16

Геометрия (№25)

Окружность и четырёхугольник

• Точка M (середина AD) равноудалена от всех вершин → можно описать окружность
• ABCD вписан в окружность → суммы противоположных углов = 180°
  • ∠BAD = 180° − 131° = 49°
  • ∠ADC = 180° − 94° = 86°
• △AMB равнобедренный → ∠ABM = ∠BAM = 49° → ∠AMB = 82°
• △CMD равнобедренный → ∠DCM = ∠CDM = 86° → ∠CMD = 8°
• ∠BMC = 180° − 82° − 8° = 90°
• △BMC прямоугольный и равнобедренный → BM = MC = x
• По теореме Пифагора: x² + x² = 3² → x = 3√2 / 2
• AD = 2 × x = 3√2

Выводы и рекомендации

Первая часть в основном стандартная, можно набрать 15+ баллов
Вторая часть сложная, но все задания из банка ФИПИ
Шины могут быть с разными формулировками — знать обновлённую версию
Неравенства требуют строгого оформления с введением функции
Текстовые задачи (круговая трасса) требуют внимания к временным интервалам
Графики с модулем — строить отдельно для x ≥ 0 и x < 0
Геометрия №23 — через подобие, №24 — через равенство треугольников, №25 — через окружность и теорему Пифагора

Для подготовки: присоединяйтесь к бесплатному премарафону в Telegram-канале, где будут разбираться все типы заданий от 1 до 25.