Метод решения неопределённых систем
При решении системы N уравнений с N неизвестными классические методы (Крамера, матричный) требуют, чтобы определитель матрицы коэффициентов был отличен от нуля. Если определитель равен нулю, система не имеет единственного решения, но это не означает её несовместность. Возможны два случая: система не имеет решений (несовместна) или имеет бесконечно много решений (является неопределённой).
Решение методом Гаусса
Для нахождения множества решений неопределённой системы применяется метод Гаусса. Расширенная матрица системы преобразуется к виду, где ниже главной диагонали — нули.
- Система будет неопределённой, если в последней строке преобразованной матрицы (кроме свободного члена) остаётся более одного ненулевого коэффициента.
- В этом случае последнее уравнение содержит несколько неизвестных. «Лишние» неизвестные объявляются параметрами.
- Через эти параметры последовательно, снизу вверх, выражаются все остальные неизвестные.
Пример решения системы
Рассмотрена система четырёх уравнений с четырьмя неизвестными (x₁, x₂, x₃, x₄).
Преобразование расширенной матрицы:
- Используя первую строку как рабочую, обнулены элементы первого столбца во второй, третьей и четвёртой строках.
- Третья и четвёртая строки после преобразований совпали. Вычитанием третьей строки из четвёртой получена нулевая строка, которая была вычеркнута.
- Для обнуления элемента во втором столбце третьей строки использована вторая строка. Чтобы избежать дробей, вторая строка умножена на 2, а третья — на 3, после чего вторая строка вычтена из третьей.
Получение и решение упрощённой системы:
После упрощений (деление строк, изменение знака) выписана эквивалентная система уравнений.
- В третьем уравнении остались две неизвестные: x₃ и x₄.
- Переменная x₄ принята за параметр t.
- Из третьего уравнения выражен x₃:
x₃ = 14 - 13t. - Подстановка x₃ и x₄ во второе уравнение дала:
x₂ = 7t - 8. - Подстановка всех найденных значений в первое уравнение дала:
x₁ = 39t - 37.
Полученное решение удовлетворяет всем уравнениям исходной системы при любом действительном значении параметра t.
Ответ: множество решений задаётся формулами: x₁ = 39t - 37, x₂ = 7t - 8, x₃ = 14 - 13t, x₄ = t, где t ∈ R.