Преобразование тригонометрических выражений
Рассмотрены методы преобразования тригонометрических выражений, включая вывод формул для тройного угла и выражение функций через тангенс половинного аргумента.
Выражение синуса тройного угла
Формула синуса тройного угла выводится с использованием формулы синуса суммы и формул двойного угла.
- Исходное выражение: sin(3α) = sin(2α + α).
- Применяем формулу синуса суммы: sin(2α)cosα + cos(2α)sinα.
- Раскрываем по формулам двойного угла (sin2α = 2sinαcosα, cos2α = 1 – 2sin²α): 2sinαcos²α + (1 – 2sin²α)sinα.
- Заменяем cos²α на (1 – sin²α) и упрощаем: 2sinα(1 – sin²α) + sinα – 2sin³α = 3sinα – 4sin³α.
Получена итоговая формула: sin(3α) = 3sinα – 4sin³α.
Выражение через тангенс половинного угла
Тригонометрические функции полного угла можно выразить через тангенс половинного угла, что полезно в математическом анализе.
Для синуса:
- sinα = 2sin(α/2)cos(α/2).
- Делим числитель и знаменатель (в качестве которого записываем тригонометрическую единицу sin²(α/2)+cos²(α/2)) на cos²(α/2).
- В результате получаем: sinα = (2tg(α/2)) / (1 + tg²(α/2)).
Для косинуса:
- cosα = cos²(α/2) – sin²(α/2).
- Аналогично делим числитель и знаменатель (тригонометрическую единицу) на cos²(α/2).
- В результате получаем: cosα = (1 – tg²(α/2)) / (1 + tg²(α/2)).
Решение тригонометрического уравнения
Рассмотрено уравнение вида cos x · cos 4x = -1. Ключевой факт для решения — модули косинусов не превышают 1, поэтому произведение может равняться -1 только в двух случаях.
Случай 1:
- cos x = -1, cos 4x = 1.
- Решения: x = π + 2πn, 4x = 2πk → x = πk/2.
- На единичной окружности общая точка для этих серий — x = π + 2πn.
Случай 2:
- cos x = 1, cos 4x = -1.
- Решения: x = 2πn, 4x = π + 2πk → x = π/4 + πk/2.
- На единичной окружности общих точек у этих серий нет.
Единственное решение уравнения: x = π + 2πn, n ∈ Z.