Ошибка в задаче ЕГЭ по геометрии
Ключевые тезисы:
- В варианте ЕГЭ (резервная волна) обнаружена геометрическая задача с противоречивым условием.
- Формальное решение приводит к числовому ответу, но сама описанная конструкция невозможна.
- Ученик, который заметил несоответствие, рискует потерять время и баллы на экзамене.
- Задача прошла все этапы проверки, что указывает на системный сбой в подготовке материалов.
Условие задачи
В треугольнике ABC известны:
- Угол B = 60°.
- Вписана окружность, касающаяся стороны AC в точке M.
Пункт А: Доказать, что BM ≤ 3R (где R — радиус вписанной окружности).
Пункт Б: Найти sin(∠CMB), если BM = (7/3)R.
Формальное решение (как ожидалось от ученика)
Пункт А: Доказательство неравенства
- Центр вписанной окружности O лежит на биссектрисе угла B → ∠OBM = 30°.
- OM = R (радиус к точке касания), ∠BMO = 90°.
- В прямоугольном треугольнике BMO с углом 30° гипотенуза BO = 2R.
- По неравенству треугольника в ΔBMO:
BM < BO + OM = 2R + R = 3R (или BM = 3R в вырожденном случае). Доказано.
Пункт Б: Нахождение синуса
- В ΔBMO известны все стороны: BO = 2R, OM = R, BM = (7/3)R.
- По теореме косинусов находим cos(∠BOM) (обозначим угол α):
[
BO^2 = BM^2 + OM^2 - 2 \cdot BM \cdot OM \cdot \cos\alpha
]
[
4R^2 = \frac{49}{9}R^2 + R^2 - 2 \cdot \frac{7}{3}R \cdot R \cdot \cos\alpha
] - После сокращения R² и вычислений получаем:
[
\cos\alpha = \frac{11}{21}
] - Так как ∠BOM и ∠CMB в сумме дают 90°, то:
[
\sin(∠CMB) = \cos\alpha = \frac{11}{21}
] - Формальный ответ: 11/21.
Обнаруженное противоречие
Ученик заметил, что ответ 11/21 ≈ 0.524 (синус чуть больше 0.5, что соответствует углу чуть больше 30°). Это приводит к парадоксу:
- В ΔBCM угол при B явно меньше 30° (часть угла 60°).
- Тогда угол C в этом треугольнике должен быть больше 120°, что невозможно, так как в исходном треугольнике ABC угол B = 60°, а сумма углов треугольника 180°.
Вывод: Конструкция с BM = (7/3)R не существует в реальности.
Доказательство невозможности конструкции
Автор предлагает наглядное доказательство:
- Продлим радиус OM до диаметра X (точка, диаметрально противоположная M).
- В прямоугольном треугольнике BOK (где K — второй конец диаметра):
- OK = 2R, BK = √3·R (из треугольника с углами 30°/60°).
- По теореме Пифагора: BX = √( (2R)² + (√3·R)² ) = √7·R.
- В треугольнике BXM угол при X тупой (опирается на дугу больше 180°), поэтому противолежащая сторона BM должна быть больше BX.
- Следовательно, необходимое условие существования конструкции:
[
BM > \sqrt{7} \cdot R \approx 2.646R
] - Но по условию BM = 7/3·R ≈ 2.333R, что меньше √7·R.
Условие не выполняется → конструкция невозможна.
Итог: Задача содержит некорректные данные. При верных условиях число 7/3 следовало заменить на значение большее √7 (например, 2.7).
Последствия и выводы
- Для ученика: Внимательный школьник может потратить время на поиск ошибки в своих расчётах, испытать стресс и потерять баллы.
- Для составителей: Задача прошла все этапы проверки (составление, решебники, агрегаторы), что указывает на недостаточную верификацию.
- Исторический прецедент: Подобные случаи (переопределённые или противоречивые конструкции) иногда встречаются на олимпиадах, но для массового экзамена это критично.
Рекомендация: Развивать критическое мышление у учеников, но также усиливать контроль качества на этапе подготовки экзаменационных материалов.