Конспект

YouTube🔴 Олимпиады-2025 по физике. Кинематика. Трансляция №1

Кинематика: разбор олимпиадных задач

Ключевые тезисы

  • Разбор задач на равноускоренное движение, относительную скорость и кинематику твёрдого тела.
  • Важно различать путь и перемещение.
  • При решении задач на относительное движение ключевое соотношение: Vотн = V₂ - V₁ (векторно).
  • Для абсолютно твёрдого тела проекции скоростей любых двух его точек на линию, их соединяющую, равны.

Задача 1 (Росатом, 11 класс)

Условие: Тело движется с постоянным ускорением a. Из точки со скоростью v₀ оно увеличило скорость в 2 раза, но направило её противоположно, пройдя путь S. Через какое время τ после этого скорость возрастёт ещё в 2 раза?

Решение:

  1. Движение состоит из трёх фаз: торможение до остановки, разворот и разгон в обратную сторону.
  2. Скорости: начальная v₀, после разворота v₁ = 2v₀, конечная v₂ = 4v₀.
  3. Нужное время: τ = (v₂ - v₁)/a = 2v₀ / a.
  4. Путь S — сумма путей при торможении (S₁) и последующем разгоне до v₁ (S₂). Используя безвременную формулу:
    • S₁ = v₀² / (2a)
    • S₂ = (2v₀)² / (2a) = 4v₀² / (2a)
    • S = S₁ + S₂ = 5v₀² / (2a)
  5. Выражаем v₀ из формулы для S и подставляем в выражение для τ:
    • v₀ = √(2aS/5)
    • τ = (2/a) * √(2aS/5) = 2√(2S/(5a))

Ответ: τ = 2√(2S/(5a))

Задача 2 (Росатом, 11 класс)

Условие: Поезд движется со скоростью V. Ветер дует под углом к направлению движения. Пассажир измеряет скорость ветра V₁. Когда поезд удваивает скорость, сохраняя направление, пассажир измеряет скорость ветра 1.5V₁. Найти скорость ветра относительно земли U.

Решение:

  1. Скорость ветра относительно поезда: Vотн = U - Vп (векторная разность).
  2. Векторы U и Vп постоянны по направлению, меняется только модуль Vп.
  3. Изменение относительной скорости (V₁ и 1.5V₁) и её направления указывает, что ветер дует навстречу поезду.
  4. Для двух случаев (скорость поезда V и 2V) записываем теорему косинусов для треугольников, образованных векторами U, Vп и Vотн:
    • V₁² = U² + V² - 2UV cosα
    • (1.5V₁)² = U² + (2V)² - 2U(2V) cosα
  5. Умножаем первое уравнение на 2 и вычитаем из второго, чтобы исключить cosα. После преобразований получаем:
    • U = V * √(4.5) = (3/√2) * V

Ответ: U = (3V)/√2

Задача 3 (ВсОШ, регион, 9 класс)

Условие: Автомобиль с начальной скоростью v₀ начинает двигаться с постоянным ускорением так, что за фиксированное время τ пройденный путь S минимален. Найти этот путь.

Решение:

  1. Для минимизации пути необходимо не просто тормозить, а развернуться и проехать часть пути назад.
  2. Пусть t — время до остановки и разворота. Ускорение a = v₀ / t (по модулю).
  3. Общий путь S — сумма площадей двух треугольников на графике V(t):
    • S = (1/2)v₀t + (1/2)a(τ - t)²
  4. Подставляя a = v₀/t и преобразуя, получаем квадратное уравнение относительно t.
  5. Условие существования корней (неотрицательный дискриминант) даёт ограничение на минимальный путь:
    • S ≥ v₀τ(√2 - 1)
  6. Минимальный путь достигается при равенстве.

Ответ: Smin = v₀τ(√2 - 1)

Задача 4 (ВсОШ, муниципальный этап, 11 класс)

Условие: Стержень длиной L скользит по полу и вертикальной стенке. В некоторый момент скорости концов: верхнего V, нижнего 2V. Найти модуль и направление скорости центра стержня.

Решение:

  1. Рассмотрим движение в системе отсчёта, связанной с нижним концом (B). Скорость верхнего конца (A) относительно B: Vотн = VA - VB.
  2. Так как стержень абсолютно твёрдый, вектор Vотн перпендикулярен стержню.
  3. Из прямоугольного треугольника векторов VA, VB и Vотн находим: Vотн = V√5.
  4. Для нахождения скорости центра (C) используем геометрию: координаты центра — полусуммы координат концов.
  5. Производная по времени даёт связь скоростей:
    • VCx = (1/2) * VBx = V (т.к. VBx = 2V)
    • VCy = (1/2) * VAy = V/2 (т.к. VAy = V)
  6. Модуль скорости центра: |VC| = √(V² + (V/2)²) = V√5 / 2.
  7. Направление: tgβ = (V/2) / V = 1/2.

Ответ: Скорость центра равна V√5 / 2 и направлена под углом β = arctg(1/2) к горизонту.

Задача 5 (ВсОШ, регион, 10 класс)

Условие: Стержень длиной 2R касается края полусферической лунки радиуса R. Нижний конец движется по лунке со скоростью V. Найти зависимость модуля скорости верхнего конца U от угла α между стержнем и горизонтом.

Решение:

  1. Проекции скоростей концов стержня на его ось равны: Vx = Ux.
  2. Из геометрии (равнобедренный треугольник, образованный радиусами к точке касания и центру) и перпендикулярности скорости V радиусу находим: Vx = V sinα.
  3. Угловая скорость вращения стержня относительно точки касания одинакова для обоих концов:
    • ω = (V⊥) / KA = (U⊥) / KB, где V⊥ = V cosα.
  4. Из геометрии: KA = 2R cosα, KB = 2R - KA = 2R(1 - cosα).
  5. Отсюда находим перпендикулярную составляющую скорости верхнего конца: U⊥ = V (1 - cosα).
  6. Модуль скорости верхнего конца:
    • U = √(Ux² + U⊥²) = √((V sinα)² + [V(1 - cosα)]²) = V√(2 - 2 cosα)
    • Используя тригонометрическое тождество, упрощаем: U = 2V sin(α/2).

Ответ: U(α) = 2V sin(α/2)

Выводы

  • При анализе сложного движения (разворот) важно правильно разбить его на фазы и использовать кинематические формулы для каждого участка.
  • Задачи на относительное движение часто эффективно решаются векторным методом с применением теоремы косинусов.
  • В задачах на твёрдое тело ключевыми являются два свойства: равенство проекций скоростей на ось тела и равенство угловых скоростей всех точек при вращении.