Решение заданий №22 ЕГЭ по математике
Ключевые тезисы:
- Задание №22 оценивается в 2 балла: 1 балл за правильный график, 1 балл за верное определение параметра.
- Решение основано на графическом методе — построении графиков функций и анализе их пересечения с заданными прямыми.
- Рассмотрены три разных типа прототипов: кусочно-заданная функция, функция с параболой и выколотой точкой, функция с модулем.
Кусочно-заданная функция
Функция:
y = x - 4 при x < 3
y = -1.5x + 4.5 при 3 ≤ x ≤ 4
y = 1.5x - 7 при x > 4
Построение графика:
- Каждый "кусочек" — прямая. Для построения прямой нужны две точки.
- Для каждого отрезка берутся граничные точки (x=3, x=4) и дополнительная точка внутри интервала.
- Граничные точки, где условие "≤" или "≥", — закрашенные. Точка x=4 для третьей прямой — выколотая (но закрашивается из-за условия второй прямой).
- На графике рекомендуется отмечать пунктирные вертикальные линии на x=3 и x=4 для визуального разделения кусков.
Задание: Определить, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение:
- Прямая y = m — горизонтальная (параллельна оси X).
- Анализируем движение этой прямой сверху вниз:
Две точки получаются при m = -1.5 (проходит через выколотую точку).- Две точки получаются при m ∈ [-1, 0] (любая прямая в этом промежутке).
- Ответ: m = -1.5 и m ∈ [-1, 0].
Функция с параболой и выколотой точкой
Функция: y = (-x² - 6.25) / (x + 1)
Преобразование и построение:
- Обязательно: x ≠ -1 (знаменатель не равен нулю). Это даёт выколотую точку.
- Функция преобразуется к виду y = -x² - 6.25 (парабола, ветви вниз).
- Вершина параболы: (0; -6.25).
- Берутся дополнительные точки (например, x=-1 → y=-7.25; x=2 → y=-10.25).
- Выколотая точка (-1; -7.25) обязательно отмечается на графике.
Задание: Найти значения k, при которых прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение:
- Прямая y = kx проходит через начало координат.
- Два возможных случая одной общей точки:
Прямая проходит через выколотую точку (-1; -7.25).
Подстановка: -7.25 = k * (-1) → k = 7.25.- Прямая касается параболы.
Приравниваем: kx = -x² - 6.25 → x² + kx + 6.25 = 0.
Дискриминант D = k² - 25 должен быть равен 0 для одного корня.
Решение: k² - 25 = 0 → k = 5 или k = -5.
- Ответ: k = 7.25; k = 5; k = -5.
Функция с модулем
Функция: y = x² - 8x - 4|x - 3| + 15
Раскрытие модуля и построение:
- Правило раскрытия модуля:
Если подмодульное выражение ≥ 0, модуль отбрасывается.
Если < 0, модуль раскрывается со знаком минус. - Получается кусочно-заданная функция из двух парабол:
- При x ≥ 3: y = x² - 12x + 27 (ветви вверх).
- При x < 3: y = x² - 4x + 3 (ветви вверх).
- Для каждой параболы находим вершины и дополнительные точки.
- График состоит из двух частей, соединённых в точке x=3 (y=0). Точка при x<3 — выколотая.
Задание: Найти значения m, при которых прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение:
- Прямая y = m — горизонтальная.
- Анализируем пересечения:
- Три точки получаются при m = -1 (проходит через вершину левой параболы).
- Три точки получаются при m = 0 (проходит через точку соединения x=3).
- Ответ: m = -1 и m = 0.
Выводы и рекомендации
- Графический метод — ключевой для решения заданий с параметрами.
- Внимание к деталям: выколотые точки, условия знаменателя, правильное раскрытие модуля.
- Перепроверка вычислений на экзамене критически важна — ошибки в подсчётах могут привести к неверному графику и потере баллов.
- Практика решения разных прототипов (кусочные, с модулем, с ограничениями) необходима для уверенного выполнения задания.