Уравнения линий на плоскости
Общее уравнение линии на плоскости имеет вид F(x, y) = 0. Частным случаем такого уравнения может быть уравнение конкретной линии, например, окружности.
Уравнение окружности
Уравнение (x - x₀)² + (y - y₀)² - r² = 0 задаёт окружность с центром в точке с координатами (x₀, y₀) и радиусом r. Это уравнение выводится из условия, что все точки окружности равноудалены от центра (теорема Пифагора). Часто его записывают в виде (x - x₀)² + (y - y₀)² = r².
Пересечение линий
Задача о пересечении двух линий, заданных уравнениями F₁(x, y) = 0 и F₂(x, y) = 0, сводится к решению системы этих уравнений. Точки пересечения существуют, если эта система имеет решения.
Пример: пересечение окружности и прямой
Рассмотрим окружность x² + y² = r² и прямую y = kx + b. Чтобы найти условия их пересечения, подставим выражение для y в уравнение окружности:
x² + (kx + b)² = r²
После преобразований получается квадратное уравнение относительно x:
(1 + k²)x² + 2bkx + (b² - r²) = 0
Условие существования решений (точек пересечения) — неотрицательный дискриминант этого квадратного уравнения: D ≥ 0.
Параметрическое задание линии
Линию можно задать параметрически с помощью системы уравнений:
x = x(t)
y = y(t)
Например, окружность с центром в начале координат задаётся уравнениями:
x = r cos t
y = r sin t
Возводя эти равенства в квадрат и складывая, получаем каноническое уравнение окружности x² + y² = r².
Линия и график функции
Важно различать понятия линии на плоскости и графика функции. Уравнение линии F(x, y) = 0 (например, окружности) может определять несколько функций.
- Уравнение окружности x² + y² = r² можно разрешить относительно y: y = ±√(r² - x²). Это даёт две функции, графики которых — верхняя и нижняя полуокружности.
- То же уравнение можно разрешить относительно x: x = ±√(r² - y²). Это определяет функции, графиками которых являются правая и левая полуокружности.
Таким образом, одна и та же линия может быть представлена разными функциональными зависимостями.