Общие сведения о квадратичной функции
Квадратичная функция имеет вид y = ax² + bx + c, где a, b, c — действительные числа и a ≠ 0. Её графиком является кривая, называемая параболой. Направление ветвей параболы зависит от коэффициента a: ветви направлены вверх, если a > 0, и вниз, если a < 0.
Частные случаи квадратичной функции
Рассмотрим два упрощённых случая, которые помогают понять базовое поведение параболы.
- Случай b = 0: Функция становится чётной (y = ax² + c), и её график симметричен относительно оси OY. Классический пример — функция y = x² (при c=0 график проходит через начало координат). Изменение коэффициента c приводит к смещению графика вдоль оси OY.
- Случай c = 0: Парабола (y = ax² + bx) всегда проходит через начало координат. Направление её ветвей по-прежнему определяется знаком коэффициента a.
Построение графика (пример с пересечением осей)
Рассмотрим построение графика функции y = x² - 2x - 3.
Алгоритм построения:
- Точка пересечения с OY: Подставляем x=0, получаем y=-3. Точка A(0; -3).
- Точки пересечения с OX: Решаем уравнение x² - 2x - 3 = 0. Находим корни: x₁ = -1, x₂ = 3. Точки B(-1; 0) и C(3; 0).
- Вершина параболы: Абсцисса вершины (x₀) находится как среднее арифметическое корней: x₀ = (-1+3)/2 = 1. Подставляем x₀ в функцию, получаем y₀ = -4. Вершина — точка D(1; -4).
Построив эти четыре точки, можно получить точный эскиз параболы.
Построение графика (пример без пересечения с OX)
Рассмотрим функцию y = x² + 2x + 2, которая не пересекает ось абсцисс.
Алгоритм построения:
- Точка пересечения с OY: При x=0, y=2. Точка A(0; 2).
- Пересечение с OX: Уравнение x² + 2x + 2 = 0 не имеет действительных корней (D < 0). Значит, график не пересекает ось OX.
- Вершина параболы: Выделяем полный квадрат: y = (x+1)² + 1. Абсцисса вершины x₀ = -1 (значение, обращающее скобку в ноль). Ордината y₀ = 1. Вершина — точка B(-1; 1).
- Дополнительная точка: Используем симметрию параболы. Находим точку C, симметричную точке A(0;2) относительно оси параболы (прямой x = -1). Её координаты: C(-2; 2).
Трёх найденных точек достаточно для построения корректного эскиза параболы.