Конспект

Введение в векторы

Векторы — это математические объекты, имеющие направление, в отличие от скалярных величин. Они используются для описания таких физических величин, как скорость, ускорение или сила.

Вектор — это направленный отрезок, имеющий начало и конец.
Длина (модуль) вектора обозначается как |a| и равна длине соответствующего отрезка.

Специальные и связанные векторы

Помимо обычных векторов, существует нулевой вектор. Он имеет нулевую длину и не имеет направления, что полезно при построении алгебры векторов.

• Коллинеарные векторы: параллельны одной прямой. Они могут быть сонаправленными или направленными противоположно.
• Компланарные векторы: параллельны одной плоскости.

Мы будем рассматривать свободные векторы. Это означает, что сонаправленные векторы одинаковой длины считаются равными, независимо от точки их приложения.

Операции с векторами

Сложение

Сложение векторов производится по правилу параллелограмма или треугольника. Если есть вектор a и вектор b, их сумма a + b представляет собой замыкающий вектор.

Умножение на число

Умножение вектора a на число λ (лямбда) подчиняется правилам:

• Если λ > 0, направление вектора не меняется, а длина умножается на λ.
• Если λ < 0, вектор меняет направление на противоположное, а его длина умножается на |λ|.

Проекция вектора

Ортогональная проекция вектора на ось — это число, равное длине отрезка проекции.

• Проекция считается положительной, если вектор сонаправлен с осью.
• Проекция считается отрицательной, если вектор направлен противоположно оси.

Проекция вектора b на ось l вычисляется по формуле: |b| * cos φ, где φ — угол между вектором и направлением оси.

Векторы в декартовой системе координат

В прямоугольной системе координат вводятся три взаимно перпендикулярных единичных вектора (орты): i, j, k (|i| = |j| = |k| = 1). Любой вектор a можно разложить по этим ортам.

a = aₓi + aᵧj + a₂k, где:

• aₓ = |a| * cos α (проекция на ось X)
• aᵧ = |a| * cos β (проекция на ось Y)
• a₂ = |a| * cos γ (проекция на ось Z)

Координатное равенство и операции

Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны все их соответствующие проекции (координаты): aₓ = bₓ, aᵧ = bᵧ, a₂ = b₂.

Сложение и вычитание векторов выполняется покоординатно:
a ± b = (aₓ ± bₓ)i + (aᵧ ± bᵧ)j + (a₂ ± b₂)k.