Ваш конспект

Разбор ВПР по математике (8 класс)

Ключевые тезисы

• Разбор полного варианта ВПР, включая первую и вторую части.
• Акцент на необходимой теории для решения каждого задания.
• Задания охватывают: действия с дробями, уравнения, геометрию, теорию вероятностей, работу с графиками и степенями.
• Предлагаются эффективные методы решения и "лайфхаки".

Первая часть

Действия с дробями

• Перевод смешанных чисел в неправильные дроби.
• Приведение к общему знаменателю и упрощение.
• Пример: 2 3/8 + 1 5/16 → 19/8 + 21/16 → 59/16 → после умножения и сокращения получаем 7/8 (или 0.875).

Квадратное уравнение

• Приведение к стандартному виду: -10x² - 9x + 9 = 0 → 10x² + 9x - 9 = 0.
• Нахождение дискриминанта: D = b² - 4ac = 81 + 360 = 441.
• Корни: x₁ = -1.5, x₂ = 0.6.

Нахождение чисел по сумме и произведению

• Условие: сумма = -30, произведение = 200.
• Подбором: числа -20 и -10.

Отметить число на координатной прямой

• Условия: x - a > 0, b - x < 0, x - c < 0.
• Преобразуем: x > a, x > b, x < c.
• Вывод: число x должно находиться правее точек a и b, но левее точки c.

Соответствие графиков и формул

• y = x² — парабола (ветви вверх при a > 0, вниз при a < 0).
• y = kx — прямая (возрастает при k > 0, убывает при k < 0).

Отметить √17 на прямой

• Оценка: √16 = 4, √25 = 5.
• √17 располагается чуть правее 4.

Действия со степенями

• Упрощение выражения перед подстановкой.
• Использование свойств степеней: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
• Пример: (8a²b³)² / (a⁵b⁶) → упрощение → 8/a → при a=2 ответ 4.

Теория вероятностей (футбол)

• Всего 32 команды, 8 групп (А-Н).
• Нужно попасть в группы А или Б (всего 8 мест).
• Вероятность = 8/32 = 0.25.

Геометрия: прямоугольный треугольник

• Дано: ∆ABC, ∠C=90°, AB=36, sin A = 5/6.
• Найти AH.
• Решение: sin A = BC/AB → BC = 30. Через теорему о касательной и секущей: AC² = AH * AB → AH = AC²/AB. AC = √(36² - 30²) = √396 → AH = 396/36 = 11.

Медиана в треугольнике на клетчатой бумаге

• Достроить прямоугольный треугольник по клеткам.
• Катеты: 5 и 12.
• Медиана (гипотенуза) = √(5² + 12²) = 13.

Теория графов

• Обвод графа без отрыва.
• Если все вершины имеют чётную степень, то начальная и конечная точки совпадают.
• Ответ: начал с вершины C.

Ложное утверждение

1. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на гипотенузе.
2. Сумма углов треугольника 180° (50+60+70=180).
3. "Существует точка, через которую нельзя провести ни одной прямой" — ложь, через любую точку можно провести бесконечно много прямых.

Вторая часть

Решение уравнения (ФСУ)

• (3x - 1)² = 6x² - 6x + 10.
• Раскрываем: 9x² - 6x + 1.
• Приводим к виду: 3x² - 9 = 0 → x² = 3.
• Ответ: x = ±√3.

Работа с диаграммой (ледники)

1. Наибольшее количество ледников — Алтай.
2. Приближённая разность между Камчаткой (670) и горами Бранга (210) — ~460.

Текстовая задача (рабочие)

• Пусть x — деталей в час у второго рабочего.
• Первый делает x+6 деталей в час.
• Уравнение на время: 36/x - 36/(x+6) = 1.
• Решение приводит к квадратному уравнению: x² + 6x - 216 = 0.
• Корни: x₁ = -18 (не подходит), x₂ = 12.
• Ответ: второй рабочий делает 12 деталей в час.

Теория вероятностей (кубики)

• Два броска кубика: всего 36 исходов.
• Сумма ≤ 4: подходят пары (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1) — 6 исходов.
• Вероятность = 6/36 = 1/6.

Упрощение выражения с корнями

• Задача: √(14 + 6√5) - √5.
• Замечаем, что 14 + 6√5 можно представить как (3 + √5)².
• Тогда выражение становится: √((3+√5)²) - √5 = |3+√5| - √5 = 3.
• Ответ: 3.

Геометрия: параллелограмм

• Дано: ABCD — параллелограмм, ∠A = 60°, AM — биссектриса, AM ⟂ DM, AB = 14.
• Ход решения:
  1. ∠BAM = ∠MAD = 30°.
  2. В ∆AMD (∠M=90°, ∠A=30°) ⇒ MD = AD/2.
  3. Находим углы: ∠ADM = 60°, ∠CMD = 60° (накрест лежащие), ∠C = 60° (противоположный ∠A).
  4. ∆CMD — равносторонний ⇒ CD = MD = AB = 14.
  5. Тогда AD = 2 * MD = 28.
• Периметр = 2*(AB + AD) = 2*(14+28) = 84.

Выводы

• ВПР по математике для 8 класса проверяет широкий спектр тем: алгебра, геометрия, теория вероятностей, работа с данными.
• Ключ к успеху — уверенное знание базовой теории и умение видеть "хитрые" преобразования (ФСУ, свойства степеней, теоремы в геометрии).
• Для подготовки рекомендуется использовать шпаргалки с теорией и активно решать типовые задания.