Ваш конспект

Логарифмы с нуля: ключевые тезисы

• Логарифм — это степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент.
• Основные свойства логарифмов вытекают из свойств степеней.
• Главная цель в задачах — привести основания логарифмов к одинаковому числу.
• Практика решения задач из банка ФИПИ — ключ к успеху на ЕГЭ.

Что такое логарифм?

Логарифм — это операция, обратная возведению в степень.

Пример: 2³ = 8 ↔ log₂ 8 = 3.

• Основание (a) — число, которое возводят в степень (в примере: 2).
• Аргумент (b) — результат возведения в степень (в примере: 8).
• Значение логарифма (c) — сама степень (в примере: 3).

Определение: logₐ b = c означает, что aᶜ = b.

Логарифм придумали для обозначения степеней, которые нельзя назвать "красиво" (например, log₅ 7).

Основные формулы и свойства

1. Основное логарифмическое тождество

a^(logₐ b) = b

Если основание степени и основание логарифма совпадают, они "съедают" друг друга.

2. Логарифм единицы и логарифм основания

• logₐ 1 = 0 (любое число в нулевой степени равно 1).
• logₐ a = 1 (число в первой степени равно самому себе).

3. Логарифм произведения и частного (при одинаковых основаниях)

• Сумма логарифмов: logₐ (x * y) = logₐ x + logₐ y
• Разность логарифмов: logₐ (x / y) = logₐ x - logₐ y

  Эти свойства — прямое следствие правил умножения и деления степеней.

4. Вынесение степени из логарифма

Степень аргумента или основания можно "вынести" перед логарифмом:

• logₐ (bⁿ) = n * logₐ b
• log_(aⁿ) b = (1/n) * logₐ b
• Общая формула: log_(aᵖ) (bᵏ) = (k/p) * logₐ b

Полезный приём: Корень ⁿ√b можно записать как степень b^(1/n).

5. Формулы перехода к новому основанию

Позволяют работать с логарифмами, имеющими разные основания:

• logₐ b = (log_c b) / (log_c a) (переход к произвольному основанию c).
• Частный случай: logₐ b = 1 / (log_b a) (меняем аргумент и основание местами).

Решение типовых задач (№6, №7 ЕГЭ профиль, №16 ЕГЭ база)

Задачи на свойства суммы/разности

Алгоритм:

1. Проверить, что основания логарифмов одинаковы.
2. Применить формулу:
   • Плюс → умножение аргументов.
   • Минус → деление аргументов.
3. Упростить полученное выражение и вычислить логарифм.

Пример: log₄ 2 + log₄ 8 = log₄ (2*8) = log₄ 16 = 2 (т.к. 4² = 16).

Задачи на вынесение степени

Алгоритм:

1. Представить аргумент и/или основание в виде степени с нужным основанием.
2. Вынести показатели степеней согласно формулам.
3. Упростить, используя logₐ a = 1.

Пример: 15 * log_(⁴√25) 5.

1. ⁴√25 = 25^(1/4) = (5²)^(1/4) = 5^(1/2).
2. 15 * log_(5^(1/2)) 5 = 15 * [1 / (1/2)] * log₅ 5 = 15 * 2 * 1 = 30.

Простейшие логарифмические уравнения

Алгоритм:

1. Если логарифмы равны и основания одинаковы: можно приравнять аргументы.
   • logₐ f(x) = logₐ g(x) ⇒ f(x) = g(x).
2. Если логарифм равен числу: использовать определение логарифма.
   • logₐ f(x) = c ⇒ f(x) = aᶜ.

Пример (тип 1): log₂ (x-4) = log₂ 9 ⇒ x - 4 = 9 ⇒ x = 13.
Пример (тип 2): log₃ (x+1) = 3 ⇒ x + 1 = 3³ ⇒ x + 1 = 27 ⇒ x = 26.

Выводы

1. Понимание — ключ. Все формулы логарифмов логично выводятся из свойств степеней.
2. Цель — одинаковое основание. Большинство приёмов сводится к тому, чтобы сделать основания логарифмов одинаковыми.
3. Практика решает. Умение применять формулы приходит с решением большого количества задач.
4. Охват тем. Освоив этот материал, вы закрываете задания на логарифмы в первой части ЕГЭ по профильной математике и аналогичные задачи в базовом экзамене.