Метод решения неопределённых систем уравнений
Если система N уравнений с N неизвестными имеет определитель, равный нулю, методы Крамера и матричный метод неприменимы. Это означает, что система не имеет единственного решения, но может быть либо несовместной (не иметь решений), либо неопределённой (иметь бесконечно много решений). Метод Гаусса позволяет исследовать оба случая.
Решение неопределённой системы методом Гаусса
Для решения системы выписывается её расширенная матрица, которая с помощью элементарных преобразований приводится к виду с нулями ниже главной диагонали. Система является неопределённой, если в последней строке преобразованной матрицы (кроме свободного члена) остаётся более одного ненулевого коэффициента. В этом случае последнее уравнение содержит несколько неизвестных.
- Лишние неизвестные в последнем уравнении объявляются параметрами.
- Через эти параметры последовательно, снизу вверх, выражаются все остальные неизвестные из каждого уравнения системы.
Пример решения системы четырёх уравнений
Дана система с неизвестными X1, X2, X3, X4. Её расширенная матрица преобразуется по методу Гаусса.
Ключевые шаги преобразований:
- Использование первой строки для обнуления первого столбца в последующих строках.
- Обнаружение линейной зависимости (третья и четвёртая строки совпали), что позволяет вычеркнуть получившуюся нулевую строку.
- Для обнуления элемента во втором столбце третьей строки использована комбинация умножения строк на числа с последующим вычитанием, чтобы избежать работы с дробями.
- После получения нулей ниже диагонали матрица была упрощена: вторая строка поделена на 5, а третья умножена на -1.
Выражение неизвестных через параметр
Полученной матрице соответствует система, где последнее (третье) уравнение содержит два неизвестных: X3 и X4.
- Параметр: Пусть X4 = t.
- Из третьего уравнения: X3 = 14 - 13t.
- Подстановка X3 и X4 во второе уравнение даёт: X2 = 7t - 8.
- Подстановка всех найденных значений в первое уравнение даёт: X1 = 39t - 37.
При любом действительном значении параметра t найденный набор (X1, X2, X3, X4) удовлетворяет всем уравнениям исходной системы.
Таким образом, общее решение системы представляет собой бесконечное множество, заданное параметрически через переменную t.